Seja \left(y_{n}\right) a sequência dada por y_{n}=\frac{n}{n^{2}+n+1}. Determine o seu limite e justifique o resultado por meio da definição formal de convergência.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(y_{n}\right) definida por
y_{n}=\frac{n}{n^{2}+n+1},\qquad n\in\mathbb{N}.
Pede-se duas coisas:
  • Determinar o limite da sequência \left(y_{n}\right) quando n\to\infty.
  • Justificar rigorosamente o resultado usando a definição formal (definição \varepsilon- N) de convergência de sequência numérica.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula explícita de y_{n} para cada n.
  • A variável de índice n é um natural ( n\in\mathbb{N}) e cresce para o infinito no limite pedido.

Passo 2

Primeira observação intuitiva (para ver o que esperamos provar): dividir numerador e denominador de y_{n} por n
y_{n}=\frac{1}{n+1+\dfrac{1}{n}}.
Como n\to\infty temos n+1+\dfrac{1}{n}\to\infty, espera-se que y_{n}\to0. Agora vamos provar isso formalmente.

Passo 3

Recordando a definição formal de convergência (aquela que vamos usar): dizemos que y_{n} converge para L quando, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, sempre que n\ge N, vale
\lvert y_{n}-L\rvert<\varepsilon.
No nosso caso queremos provar que L=0, isto é, mostrar que para todo \varepsilon>0 existe N com \lvert y_{n}-0\rvert<\varepsilon sempre que n\ge N.

Passo 4

Construir uma cota simples para \lvert y_{n}\rvert. Note que, para todo n\in\mathbb{N},
n^{2}+n+1 \ge n^{2},
portanto
0<y_{n}=\frac{n}{n^{2}+n+1}\le\frac{n}{n^{2}}=\frac{1}{n}.
Aqui usei duas coisas explícitas: o denominador é positivo para n\in\mathbb{N}, daí y_{n}>0; e comparar com n^{2} fornece a desigualdade útil y_{n}\le 1/n.

Passo 5

Agora a prova \varepsilon- N. Seja arbitrário \varepsilon>0. Queremos escolher N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\lvert y_{n}-0\rvert<\varepsilon.
Pela desigualdade do Passo 4 temos, para n\ge1,
\lvert y_{n}-0\rvert=y_{n}\le\frac{1}{n}.
Logo, basta garantir que \dfrac{1}{n}<\varepsilon. Escolha qualquer N\in\mathbb{N} satisfazendo
N>\frac{1}{\varepsilon}.
(Por exemplo N=\left\lceil\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil+1 funciona.) Então, para todo n\ge N tem-se \dfrac{1}{n}\le\dfrac{1}{N}<\varepsilon, e assim
\lvert y_{n}-0\rvert\le\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Isso mostra exatamente a condição exigida pela definição de convergência.

Passo 6

Concluímos, pelos passos anteriores, que para todo \varepsilon>0 existe N (dependente de \varepsilon) tal que sempre que n\ge N vale \lvert y_{n}-0\rvert<\varepsilon. Portanto, por definição,
\lim_{n\to\infty} y_{n}=0.

Resposta

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