Seja
a sequência dada por
. Determine o seu limite e justifique o resultado por meio da definição formal de convergência.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
Pede-se duas coisas:
- Determinar o limite da sequência
quando . - Justificar rigorosamente o resultado usando a definição formal (definição
- ) de convergência de sequência numérica.
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula explícita de
para cada . - A variável de índice
é um natural ( ) e cresce para o infinito no limite pedido.
Passo 2
Primeira observação intuitiva (para ver o que esperamos provar): dividir numerador e denominador de
por
dá
Como
temos
, espera-se que
. Agora vamos provar isso formalmente.
Passo 3
Recordando a definição formal de convergência (aquela que vamos usar): dizemos que
converge para
quando, para todo
, existe
tal que, sempre que
, vale
No nosso caso queremos provar que
, isto é, mostrar que para todo
existe
com
sempre que
.
Passo 4
Construir uma cota simples para
. Note que, para todo
,
portanto
Aqui usei duas coisas explícitas: o denominador é positivo para
, daí
; e comparar com
fornece a desigualdade útil
.
Passo 5
Agora a prova
-
. Seja arbitrário
. Queremos escolher
tal que, para todo
,
Pela desigualdade do Passo 4 temos, para
,
Logo, basta garantir que
. Escolha qualquer
satisfazendo
(Por exemplo
funciona.) Então, para todo
tem-se
, e assim
Isso mostra exatamente a condição exigida pela definição de convergência.
Passo 6
Concluímos, pelos passos anteriores, que para todo
existe
(dependente de
) tal que sempre que
vale
. Portanto, por definição,