Considere a sequência dada pela recorrência
com
. Demonstre que
é monótona decrescente e limitada inferiormente. Calcule o seu limite. (Dica: Calcule
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por uma recorrência:
, começando com
. A questão pede para mostrar que essa sequência é monótona decrescente, está limitada abaixo e também para achar o seu limite. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências recorrentes, monotonicidade e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a sequência é decrescente. Isso quer dizer que cada termo é menor ou igual ao anterior, ou seja,
. Para isso, a dica é calcular
.
Vamos fazer:
Agora, para que
, o numerador precisa ser negativo:
Resolvendo a inequação quadrática, encontramos os valores de
que satisfazem. Observando que
, que está dentro dessa condição, e assumindo que a sequência continua dentro desses limites, podemos concluir que
, ou seja, a sequência é decrescente.
Passo 3
Agora, vamos ver se a sequência é limitada inferiormente. Uma sequência limitada abaixo significa que existe algum número que é menor ou igual a todos os termos da sequência.
Observando a definição da recorrência
, percebemos que, à medida que
diminui,
também diminui, mas nunca chega a zero, pois o denominador sempre adiciona 2. Portanto, podemos afirmar que a sequência é limitada abaixo por algum número positivo, garantindo que os termos não vão para menos infinito.
Passo 4
Por último, vamos calcular o limite da sequência. Como a sequência é decrescente e limitada abaixo, ela converge para algum valor
.
Assumimos que
tende a
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvendo a equação quadrática:
As soluções são
e
. Como a sequência é decrescente e começa em 5, o limite será
.
Resposta
O limite da sequência
é
.