Considere a sequência dada pela recorrência an+1=5 an+4an+2 com a1=5. Demonstre que an é monótona decrescente e limitada inferiormente. Calcule o seu limite. (Dica: Calcule an+1-an ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por uma recorrência: an+1 = 5 an + 4an + 2, começando com a1 = 5. A questão pede para mostrar que essa sequência é monótona decrescente, está limitada abaixo e também para achar o seu limite. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências recorrentes, monotonicidade e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a sequência é decrescente. Isso quer dizer que cada termo é menor ou igual ao anterior, ou seja, an+1 <= an. Para isso, a dica é calcular an+1 - an.
Vamos fazer:
an+1 - an = 5 an + 4an + 2 - an = 5 an + 4 - an(an + 2)an + 2 = 5 an + 4 - an^2 - 2 anan + 2 = -an^2 + 3 an + 4an + 2
Agora, para que an+1 - an <= 0, o numerador precisa ser negativo:
-an^2 + 3 an + 4 <= 0 an^2 - 3 an - 4 >= 0
Resolvendo a inequação quadrática, encontramos os valores de an que satisfazem. Observando que a1 = 5, que está dentro dessa condição, e assumindo que a sequência continua dentro desses limites, podemos concluir que an+1 <= an, ou seja, a sequência é decrescente.

Passo 3

Agora, vamos ver se a sequência é limitada inferiormente. Uma sequência limitada abaixo significa que existe algum número que é menor ou igual a todos os termos da sequência.
Observando a definição da recorrência an+1 = 5 an + 4an + 2, percebemos que, à medida que an diminui, an+1 também diminui, mas nunca chega a zero, pois o denominador sempre adiciona 2. Portanto, podemos afirmar que a sequência é limitada abaixo por algum número positivo, garantindo que os termos não vão para menos infinito.

Passo 4

Por último, vamos calcular o limite da sequência. Como a sequência é decrescente e limitada abaixo, ela converge para algum valor L.
Assumimos que an tende a L, então:
L = 5 L + 4L + 2
Multiplicando ambos os lados por L + 2:
L (L + 2) = 5 L + 4 L^2 + 2 L = 5 L + 4 L^2 - 3 L - 4 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
L = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm 52
As soluções são L = 4 e L = -1. Como a sequência é decrescente e começa em 5, o limite será L = 4.

Resposta

O limite da sequência an é 4.

Exercícios relacionados