- Questão 16. Determine a derivada de ordem
.
Passo 1
Beleza, o que a questão pede é “determinar a derivada de ordem
de
Então o assunto é derivadas de funções exponenciais e vamos precisar lembrar duas coisas:
- a definição (ou fórmula) de derivada de
, - a base especial
(pois ).
Passo 2
Antes de tudo, lembra o que é derivada de uma função: é a “taxa de variação” dela, ou seja, quanto muda
quando
muda bem de levinho. Matematicamente:
Mas a gente já tem a fórmula pronta para
:
No nosso caso
, e como
, fica:
Passo 3
Beleza, descobrimos que a primeira derivada é
E aí vem a mágica: se você derivar de novo, ou seja, calcular a segunda derivada, vai fazer a mesma conta, porque é sempre a derivada de
. Logo
e o mesmo vale pra terceira, quarta etc. Cada vez que você “passa a derivada”, o resultado continua sendo
.
Passo 4
Para fechar com chave de ouro, a gente usa indução:
- Base (
): vimos que . - Passo indutivo: suponha que a
-ésima derivada é . Então a -ésima é
Pronto, vale pra todo
.