• Questão 16. Determine a derivada de ordem n.
    f(x)=e^x

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é “determinar a derivada de ordem n de
f(x)=e^x,
Então o assunto é derivadas de funções exponenciais e vamos precisar lembrar duas coisas:
  1. a definição (ou fórmula) de derivada de a^x,
  2. a base especial e (pois ln e=1).

Passo 2

Antes de tudo, lembra o que é derivada de uma função: é a “taxa de variação” dela, ou seja, quanto muda f(x) quando x muda bem de levinho. Matematicamente:
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h,
Mas a gente já tem a fórmula pronta para a^x:
ddx,a^x = a^xln(a),
No nosso caso a=e, e como ln(e)=1, fica:
ddx,e^x = e^xcdot1 = e^x,

Passo 3

Beleza, descobrimos que a primeira derivada é
f'(x)=e^x,
E aí vem a mágica: se você derivar de novo, ou seja, calcular a segunda derivada, vai fazer a mesma conta, porque é sempre a derivada de e^x. Logo
f''(x)=ddxl(e^xr)=e^x,,
e o mesmo vale pra terceira, quarta etc. Cada vez que você “passa a derivada”, o resultado continua sendo e^x.

Passo 4

Para fechar com chave de ouro, a gente usa indução:
  1. Base ( n=1): vimos que f^(1)(x)=e^x.
  2. Passo indutivo: suponha que a k-ésima derivada é f^(k)(x)=e^x. Então a (k+1)-ésima é
f^(k+1)(x)=ddxl(f^(k)(x)r)=ddxl(e^xr)=e^x,
Pronto, vale pra todo n>=1.

Resposta

boxedf^(n)(x)=e^xpara todo n

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