Seja f uma função tal que f(x+3)=x^2+1, para todo x real. Então qual é o valor de f(x) ?

Passo 1

O enunciado diz que existe uma função f tal que
f(x+3)=x^2+1
para todo xinR. O objetivo é encontrar uma expressão para f(x). Vamos usar a técnica de mudança de variável para “desfazer” o deslocamento x+3.

Passo 2

Fazendo a troca de variável
t = x+3 Longrightarrow x = t-3,
podemos reescrever a condição original em termos de t. Assim, para todo tinR vale
f(t) = (,t-3,)^2 + 1

Passo 3

Basta agora expandir e simplificar:
f(t) = (t-3)^2 + 1 = t^2 -6t +9 +1 = t^2 -6t +10
Como t é uma variável genérica (que pode ser renomeada para x), concluímos que
f(x) = x^2 -6x +10

Resposta

f(x) = x^2 -6x +10

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