Considere a sequência
definida por
e, se
. Mostre que esta sequência é crescente e limitada e conclua que ela é convergente. Calcule o limite da sequência dada.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
O objetivo é mostrar que essa sequência é monótona crescente e limitada (logo convergente) e, por fim, calcular
O conteúdo envolvido é o critério de convergência para sequências monotônicas e limitadas e a técnica de passagem ao limite numa relação de recorrência.
Passo 2
Provar que
é crescente, isto é,
para todo
.
Base ( ):
Base (
Passo indutivo: suponha
. Como a função
é estritamente crescente em
, temos
Logo, por indução,
para todo
.
Passo 3
Provar que
é limitada superiormente, por exemplo, por
.
Base ( ):
Base (
Passo indutivo: suponha
. Então
Assim,
para todo
. Portanto a sequência é limitada superiormente por
.
Passo 4
Concluir convergência e encontrar o limite.
Como é crescente e limitada superiormente, pelo Teorema da Convergência de Bolzano–Weierstrass ela converge. Seja
Como
Passando ao limite na relação de recorrência
, obtemos
Elevando ao quadrado,
Como todos os
são positivos,
, fica
.
Resposta
A sequência é crescente, limitada (por
) e, portanto, convergente, com