Considere a sequência (xn)n in N definida por x1=raiz2 e, se n >= 2, xn=raiz2+xn-1. Mostre que esta sequência é crescente e limitada e conclua que ela é convergente. Calcule o limite da sequência dada.

Passo 1

O enunciado define a sequência l(xnr)ninN por
x1 = raiz2, xn = raiz2 + xn-1(n>=2)
O objetivo é mostrar que essa sequência é monótona crescente e limitada (logo convergente) e, por fim, calcular
ell = limntoinfty xn
O conteúdo envolvido é o critério de convergência para sequências monotônicas e limitadas e a técnica de passagem ao limite numa relação de recorrência.

Passo 2

Provar que l(xnr) é crescente, isto é, xn > xn-1 para todo n>=2.
Base ( n=2):
x2 = raiz2 + x1 = raiz2 + raiz2 > raiz2 = x1
Passo indutivo: suponha xn-1 > xn-2. Como a função f(t)=raiz2+t é estritamente crescente em R, temos
xn = fl(xn-1r) > fl(xn-2r) = xn-1
Logo, por indução, xn > xn-1 para todo n>=2.

Passo 3

Provar que l(xnr) é limitada superiormente, por exemplo, por 2.
Base ( n=1):
x1 = raiz2 < 2
Passo indutivo: suponha xn-1 < 2. Então
xn = raiz2 + xn-1 < raiz2 + 2 = raiz4 = 2
Assim, xn < 2 para todo n. Portanto a sequência é limitada superiormente por 2.

Passo 4

Concluir convergência e encontrar o limite.
Como l(xnr) é crescente e limitada superiormente, pelo Teorema da Convergência de Bolzano–Weierstrass ela converge. Seja
ell = limntoinfty xn
Passando ao limite na relação de recorrência xn = raiz2 + xn-1, obtemos
ell = raiz2 + ell
Elevando ao quadrado,
ell^2 = 2 + ell Longrightarrow ell^2 - ell - 2 = 0 Longrightarrow (ell-2)(ell+1)=0
Como todos os xn são positivos, ell>= x1=raiz2>0, fica ell=2.

Resposta

A sequência é crescente, limitada (por 2) e, portanto, convergente, com
limntoinfty xn = 2

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