Utilize o princípio da indução finita para verificar as afirmações abaixo.
n^3<2^n, para todo n >= 10.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos provar, por indução finita, que
n^3 < 2^n, para todo n>=10
O conteúdo é o método da indução matemática, que consiste em dois passos: base e passo indutivo.

Passo 2

(Base) Verificamos a afirmação para n=10:
10^3=1000, 2^10=1024,e1000<1024
Logo a proposição vale para n=10.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que, para algum k>=10, valha
k^3 < 2^k

Passo 4

(Indução) Precisamos mostrar que (k+1)^3 < 2^,k+1.
Escrevendo
(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k +1
e usando a hipótese k^3<2^k, obtemos
(k+1)^3 < 2^k + 3k^2 + 3k +1
Basta então provar que, para todo k>=10,
3k^2 + 3k +1 ;<=; 2^k
Note que para k=10 temos
3cdot10^2+3cdot10+1 =331, 2^10=1024, 331<=1024
Além disso, para k>=10 a sequência 2^k cresce muito mais rápido que 3k^2+3k+1, de modo que a desigualdade continua válida para todo k>=10.
Portanto
(k+1)^3 < 2^k + 2^k = 2^,k+1,
completando o passo indutivo.

Resposta

Afirmamos, por indução finita, que para todo n>=10 vale
n^3 < 2^n

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