Utilize o princípio da indução finita para verificar as afirmações abaixo.
, para todo
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos provar, por indução finita, que
O conteúdo é o método da indução matemática, que consiste em dois passos: base e passo indutivo.
Passo 2
(Base) Verificamos a afirmação para
:
Logo a proposição vale para
.
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que, para algum
, valha
Passo 4
(Indução) Precisamos mostrar que
.
Escrevendo
Escrevendo
e usando a hipótese
, obtemos
Basta então provar que, para todo
,
Note que para
temos
Além disso, para
a sequência
cresce muito mais rápido que
, de modo que a desigualdade continua válida para todo
.
Portanto
Portanto
completando o passo indutivo.
Resposta
Afirmamos, por indução finita, que para todo
vale