Determine o domínio e a imagem e faça o gráfico de cada uma das funções. Além disso, determine se cada uma delas é injetora ou não :
Passo 1
O enunciado pede para a função
(
) determinar o domínio, (
) determinar a imagem, (
) esboçar o gráfico e (
) verificar se é injetora. Para isso vamos usar a condição de existência de radical de índice par, análise de monotonia e ideias básicas de desenho de curvas.
Passo 2
Para o radical existir em
é necessário
Resolvendo,
Portanto o domínio é
Passo 3
A saída da raiz quadrada é sempre não-negativa, ou seja
. Além disso, conforme
, o argumento
e então
. No ponto extremo
temos
. Logo a imagem é
Passo 4
Para esboçar o gráfico basta notar que
é uma raiz decrescente em
. Alguns pontos notáveis:
Conectando esses pontos com a forma característica da raiz (curva suave, sem pontos angulosos) e lembrando que o domínio é até
, obtemos uma curva que começa no alto à esquerda (quando
,
) e desce até atingir
.
Passo 5
Para verificar injetividade basta observar que a função é estritamente decrescente em todo o seu domínio (o interior da raiz
é decrescente em
e a raiz é monótona crescente em seu argumento). Portanto valores diferentes de
produzem valores diferentes de
, e
é injetora.
Resposta
Domínio:
.
Imagem: .
Gráfico: ramo de raiz quadrada invertido, indo de (para
) até o ponto
.
Injetora: sim.
Imagem:
Gráfico: ramo de raiz quadrada invertido, indo de
Injetora: sim.