Determine o domínio e a imagem e faça o gráfico de cada uma das funções. Além disso, determine se cada uma delas é injetora ou não :
g(x)=raiz4-2 x

Passo 1

O enunciado pede para a função
g(x) = raiz4 - 2x
( 1) determinar o domínio, ( 2) determinar a imagem, ( 3) esboçar o gráfico e ( 4) verificar se é injetora. Para isso vamos usar a condição de existência de radical de índice par, análise de monotonia e ideias básicas de desenho de curvas.

Passo 2

Para o radical existir em é necessário
Resolvendo,
Portanto o domínio é

Passo 3

A saída da raiz quadrada é sempre não-negativa, ou seja raiz4-2x>=0. Além disso, conforme xto -infty, o argumento 4-2xto+infty e então raiz4-2xto+infty. No ponto extremo x=2 temos raiz4-2cdot2=raiz0=0. Logo a imagem é
Im g = [0,infty)

Passo 4

Para esboçar o gráfico basta notar que g é uma raiz decrescente em x. Alguns pontos notáveis:
g(2)=0, g(0)=raiz4=2, g(-2)=raiz8=2raiz2
Conectando esses pontos com a forma característica da raiz (curva suave, sem pontos angulosos) e lembrando que o domínio é até x=2, obtemos uma curva que começa no alto à esquerda (quando xto-infty, g(x)toinfty) e desce até atingir (2,0).

Passo 5

Para verificar injetividade basta observar que a função é estritamente decrescente em todo o seu domínio (o interior da raiz 4-2x é decrescente em x e a raiz é monótona crescente em seu argumento). Portanto valores diferentes de x produzem valores diferentes de g(x), e g é injetora.

Resposta

Domínio: ,(-infty,2].
Imagem: ,[0,infty).
Gráfico: ramo de raiz quadrada invertido, indo de +infty (para xto-infty) até o ponto (2,0).
Injetora: sim.

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