Utilize o princípio da indução finita para verificar as afirmações abaixo.
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando o princípio da indução finita, que
para todo
. Vamos precisar conhecer o esquema de prova por indução (caso base e passo indutivo) e manipular soma de frações.
Passo 2
Caso base (
):
e
Portanto, a fórmula vale para
n=1 .
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que, para certo
n>=1 , valha
Passo 4
Passo indutivo (
nto n+1 ):
Agora somamos as frações:
logo
Isso mostra que a fórmula vale também para
n+1 . Pelo princípio da indução, vale para todo
n>=1 .