Utilize o princípio da indução finita para verificar as afirmações abaixo.
11 cdot 2+12 cdot 3+cdots+1n cdot(n+1)=nn+1, para todo n >= 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o princípio da indução finita, que
sumk=1^n1k(k+1)=nn+1,
para todo n>=1. Vamos precisar conhecer o esquema de prova por indução (caso base e passo indutivo) e manipular soma de frações.

Passo 2

Caso base ( n=1):
sumk=1^11k(k+1)=11cdot2=12
e
nn+1|n=1=11+1=12
Portanto, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para certo n>=1, valha
sumk=1^n1k(k+1)=nn+1

Passo 4

Passo indutivo ( nto n+1):
sumk=1^n+11k(k+1) =sumk=1^n1k(k+1)+1(n+1)(n+2) =nn+1+1(n+1)(n+2)
Agora somamos as frações:
nn+1 =n(n+2)(n+1)(n+2),
logo
nn+1+1(n+1)(n+2) =n(n+2)+1(n+1)(n+2) =n^2+2n+1(n+1)(n+2) =(n+1)^2(n+1)(n+2) =n+1n+2
Isso mostra que a fórmula vale também para n+1. Pelo princípio da indução, vale para todo n>=1.

Resposta

11cdot2+12cdot3+cdots+1n(n+1)=nn+1

Exercícios relacionados