Mostre que a sequência (5^n2 n)n in N é crescente, mas não é limitada. Dica: Mostre que a sequência em questão é divergente.

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = 5^n2,n,
e pede para mostrar que ela é crescente (isto é, an+1>an para todo n) e não é limitada (ou seja, não existe M tal que an<= M para todo n). Vamos usar o teste da razão para monotonicidade e mostrar que a sequência diverge para +infty.

Passo 2

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = 5^n+12(n+1)5^n2n = 5^n+12(n+1)cdot2n5^n = 5nn+1
Para todo ninN temos
nn+1>0, logo
an+1an=5nn+1>1
pois 5n>n+1 sempre que n>=1. Portanto an+1>an e a sequência é crescente.

Passo 3

Para ver que não há limite superior basta notar que
nn+1>=12 Longrightarrow an+1an=5nn+1>=52
Assim, pelo produto telescópico,
an = a1prodk=1^n-1ak+1ak >= 52,l(52r)^n-1 = l(52r)^n
Como l(tfrac52r)^nto+infty quando ntoinfty, a mesma coisa acontece com an. Logo a sequência diverge para +infty e não é limitada.

Resposta

A sequência l(tfrac5^n2nr) é crescente e não é limitada (diverge para +infty).

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