Mostre que a sequência
é crescente, mas não é limitada. Dica: Mostre que a sequência em questão é divergente.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para mostrar que ela é crescente (isto é,
para todo
) e não é limitada (ou seja, não existe
tal que
para todo
). Vamos usar o teste da razão para monotonicidade e mostrar que a sequência diverge para
.
Passo 2
Calculamos a razão entre termos consecutivos:
Para todo
temos
, logo
pois
sempre que
. Portanto
e a sequência é crescente.
Passo 3
Para ver que não há limite superior basta notar que
Assim, pelo produto telescópico,
Como
quando
, a mesma coisa acontece com
. Logo a sequência diverge para
e não é limitada.
Resposta
A sequência
é crescente e não é limitada (diverge para
).