Considere a sequência definida pela relação de reconrência:
Sabendo que ele converge para valor positivo, encontre o seu limite.
Passo 1
O enunciado define a sequência xn por
x1=1, xn+1=xn^2+32xn,;ninN,
e pede o limite quando ntoinfty, sabendo que a sequência converge para valor positivo. O conteúdo é limites de sequências por recorrência, usando a ideia de ponto fixo.
Passo 2
Seja ell>0 o limite de xn. Tomando limite em ambos os lados da relação
xn+1=xn^2+32xn
e usando continuidade, obtemos
ell=ell^2+32ell
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por 2ell resulta
2ell^2=ell^2+3
ou seja
ell^2=3
Passo 4
A equação ell^2=3 tem duas soluções, ell=raiz3 e ell=-raiz3. Como o enunciado garante que o limite é positivo, ficamos com