Sabendo-se que ((1+1 / n)^n)n in N converge para e verifique que
lim n infty(1+1 / n^2)^n^2=e

Passo 1

O enunciado nos dá como conhecemos que
limntoinftyl(1+tfrac1nr)^n=e
e pede para verificar que
limntoinftyl(1+tfrac1n^2r)^n^2=e
O conteúdo é limites de sequências do tipo l(1+tfrac1kr)^k.

Passo 2

Definimos uma nova sequência de índices
m=n^2
Note que, conforme ntoinfty, também mtoinfty e minN.

Passo 3

Reescrevemos a sequência em função de m:
l(1+tfrac1n^2r)^n^2 =l(1+tfrac1mr)^m
Como sabemos que
limktoinftyl(1+tfrac1kr)^k=e,
essa mesma convergência vale para a sequência com k=m.

Passo 4

Formalizando com varepsilon>0: existe K tal que para todo k>= K vale
l|l(1+tfrac1kr)^k - er|<varepsilon
Bastará tomar n tal que n^2>= K, i.e.\ n>=raizK, para obter
l|l(1+tfrac1n^2r)^n^2-er|<varepsilon
Isso mostra que
limntoinftyl(1+tfrac1n^2r)^n^2=e

Resposta

limntoinftyl(1+tfrac1n^2r)^n^2=e

Exercícios relacionados