Considere a sequência definida por x1=0, x2=1 e xn+2=xn+xn+12, para n in N. Separe os termos de ordem ímpar dos de ordem par. Prove que os termos de ordem ímpar constituem uma sequência crescente limitada e os de ordem par uma sequência decrescente limitada. Conclua que esses termos determinam duas subsequências convergentes e com isso prove que a sequência converge para 23.

Passo 1

O enunciado define a sequência (xn) por
x1=0, x2=1, xn+2=xn+xn+12(ninN)
Queremos separar em duas subsequências
an=x2n-1(ímpares), bn=x2n(pares), í
mostrar que (an) é crescente e limitada, que (bn) é decrescente e limitada, concluir que ambas convergem, provar que têm o mesmo limite e, finalmente, calcular esse limite, que deve ser tfrac23.

Passo 2

Escrevemos recurrences entre an e bn. Para n>=1:
an=x2n-1, bn=x2n
Da relação xn+2=(xn+xn+1)/2 segue:
an+1=x2n+1=x2n-1+x2n2=an+bn2,
bn+1=x2n+2=x2n+x2n+12 =bn+an+12

Passo 3

Mostramos bn>an por indução e depois monotonicidade.
Base n=1: b1=x2=1>0=x1=a1.
Passo indutivo: suponha bn>an.
Então
an+1=an+bn2>an+an2=an,
bn+1=bn+an+12<bn+bn2=bn
Logo, an<an+1 (crescente) e bn>bn+1 (decrescente), permanecendo bn>an para todo n.

Passo 4

Limites e convergência. Como
a1=0< an<bn<b1=1,
a subsequência (an) é crescente e limitada superiormente por 1, e (bn) é decrescente e limitada inferiormente por 0. Pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, cada uma converge. Denotemos
ella=limntoinftyan, ellb=limntoinftybn

Passo 5

As duas subsequências têm o mesmo limite. Da relação
an+1=an+bn2
fazemos ntoinfty, obtendo
ella=ella+ellb2 Longrightarrow 2ella=ella+ellb Longrightarrow ella=ellb
Chamemos esse limite comum de ell. Então toda a sequência (xn) converge para ell.

Passo 6

Cálculo de ell por análise das somas e diferenças. Definimos
dn=bn-an,
sn=an+bn
Do passo 2 segue
dn+1=bn+1-an+1 =bn+an+12-an+bn2 =bn-an4=dn4
Como d1=b1-a1=1, temos dn=(tfrac14)^,n-1. Em particular dnto0.
Por outro lado,
sn+1-sn=(an+1+bn+1)-(an+bn) =(an+1-an)+(bn+1-bn) =bn-an4 =;dn+1
Somando de n=1 até infty obtém-se
limntoinftysn-s1 =sumk=1^inftydk+1 =sumk=1^inftyl(tfrac14r)^k =tfrac141-tfrac14=13
Como s1=1, segue lim sn=1+tfrac13=tfrac43. Mas lim sn=2ell, logo
2ell=43 Longrightarrow ell=23

Resposta

A sequência (xn) converge para 23.

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