Considere a sequência definida por
e
, para
. Separe os termos de ordem ímpar dos de ordem par. Prove que os termos de ordem ímpar constituem uma sequência crescente limitada e os de ordem par uma sequência decrescente limitada. Conclua que esses termos determinam duas subsequências convergentes e com isso prove que a sequência converge para
.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
Queremos separar em duas subsequências
mostrar que
é crescente e limitada, que
é decrescente e limitada, concluir que ambas convergem, provar que têm o mesmo limite e, finalmente, calcular esse limite, que deve ser
.
Passo 2
Escrevemos recurrences entre
e
. Para
:
Da relação
segue:
Passo 3
Mostramos
por indução e depois monotonicidade.
Base :
.
Passo indutivo: suponha .
Então
Base
Passo indutivo: suponha
Então
Logo,
(crescente) e
(decrescente), permanecendo
para todo
.
Passo 4
Limites e convergência. Como
a subsequência
é crescente e limitada superiormente por
, e
é decrescente e limitada inferiormente por
. Pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, cada uma converge. Denotemos
Passo 5
As duas subsequências têm o mesmo limite. Da relação
fazemos
, obtendo
Chamemos esse limite comum de
. Então toda a sequência
converge para
.
Passo 6
Cálculo de
por análise das somas e diferenças. Definimos
Do passo 2 segue
Como
, temos
. Em particular
.
Por outro lado,
Somando de
até
obtém-se
Como
, segue
. Mas
, logo
Resposta
A sequência
converge para
.