Considere a sequência
Determine se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, determine seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma sequência de números:
Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico quando continuamos infinitamente) ou diverge (não se aproxima de nenhum número). Se ela convergir, queremos saber qual é esse limite. Para resolver isso, vamos analisar os termos da sequência e identificar uma regra geral.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar encontrar uma fórmula que descreva qualquer termo
da sequência em função de
. Observando os numeradores e denominadores:
- Numeradores: -3, -1, 1, 3, 5, … → Parece que os numeradores aumentam de 2 em 2 começando de -3.
- Denominadores: 2, 6, 12, 20, 30, … → Esses denominadores lembram os números triangulares multiplicados por 2.
Então, podemos propor que:
Vamos simplificar:
Passo 3
Agora que temos uma expressão geral para
:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar a análise do limite quando
tende ao infinito. Podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Passo 4
Para encontrar o limite da sequência quando
tende ao infinito, analisamos cada parte da expressão:
-
tende a 0 quando cresce. -
tende a para valores muito grandes de .
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, sabemos que:
Isso significa que, à medida que
fica cada vez maior,
se aproxima de 0.
Resposta
A sequência converge e seu limite é 0.