Encontre a série de Maclaurin de f(x)=e^x+e^2 x e o raio de convergência. Escreva na sua forma reduzida.

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=e^x+e^2x e o raio de convergência. O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de Taylor em torno de zero (Maclaurin) para a função exponencial, além da propriedade de que somas de séries de mesma variável podem ser combinadas termo a termo.

Passo 2

Lembrando a expansão conhecida da função exponencial em torno de zero, temos
e^x = sumn=0^infty x^nn!

Passo 3

Para a função e^2x, basta substituir x por 2x na série acima:
e^2x = sumn=0^infty (2x)^nn! = sumn=0^infty 2^nn!,x^n

Passo 4

Somando termo a termo as duas séries, a série de Maclaurin de f(x) fica
f(x)=e^x+e^2x =sumn=0^inftyx^nn!+sumn=0^infty2^nn!,x^n =sumn=0^infty1+2^nn!,x^n

Passo 5

Para investigar o raio de convergência, note que cada uma das séries sum x^n/n! e sum 2^nx^n/n! converge para todo xinR (raio infinito). Logo, a soma também tem raio de convergência infinito.

Resposta

f(x)=sumn=0^infty1+2^nn!,x^n,
raio de convergência R=infty.

Exercícios relacionados