Encontre a série de Maclaurin de
e o raio de convergência. Escreva na sua forma reduzida.
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de
e o raio de convergência. O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de Taylor em torno de zero (Maclaurin) para a função exponencial, além da propriedade de que somas de séries de mesma variável podem ser combinadas termo a termo.
Passo 2
Lembrando a expansão conhecida da função exponencial em torno de zero, temos
Passo 3
Para a função
, basta substituir
por
na série acima:
Passo 4
Somando termo a termo as duas séries, a série de Maclaurin de
fica
Passo 5
Para investigar o raio de convergência, note que cada uma das séries
e
converge para todo
(raio infinito). Logo, a soma também tem raio de convergência infinito.
Resposta
raio de convergência
.