Considere a sequência de intervalos I_{n}=\left[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right]. Mostre que
\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}=\{0\}
Quem são supremo e ínfimo dos I_{n} 's?

Passo 1

O enunciado define os intervalos
I_{n} = \bigl[-\tfrac{1}{n}, \tfrac{1}{n}\bigr]
e pede para mostrar que
\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n} = \{0\}
além de identificar o ínfimo e o supremo de cada I_{n}. Vamos usar a definição de interseção infinita e a noção de supremum/infimum de intervalos fechados.

Passo 2

Mostramos primeiro que 0 pertence a todos os I_{n}. De fato, para qualquer n\ge1 temos
-\tfrac{1}{n} \le 0 \le \tfrac{1}{n},
logo 0\in I_{n}. Assim 0 pertence à interseção de todos os I_{n}.

Passo 3

Agora, se x\neq0, então \lvert x\rvert>0. Seja N um inteiro tal que
\tfrac{1}{N} < \lvert x\rvert.
Isso é possível pois \tfrac{1}{n}\to0. Para esse N temos
\lvert x\rvert > \tfrac{1}{N} \quad\Longrightarrow\quad x\notin \bigl[-\tfrac{1}{N},\tfrac{1}{N}\bigr] = I_{N}.
Logo x não está em pelo menos um dos I_{n}, e portanto não pertence à interseção infinita.

Passo 4

Dos passos anteriores concluímos que
\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}
contém 0 e não contém nenhum outro x\neq0. Assim
\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n} = \{0\}.

Passo 5

Para cada n, o intervalo I_{n} = \bigl[-\tfrac{1}{n},\tfrac{1}{n}\bigr] é fechado e limitado. Seu ínfimo é o menor ponto do intervalo e seu supremo é o maior ponto. Logo
\inf I_{n} = -\tfrac{1}{n}, \qquad \sup I_{n} = \tfrac{1}{n}.

Resposta

\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n} = \{0\}.
Para cada n, \inf I_{n} = -\tfrac{1}{n} e \sup I_{n} = \tfrac{1}{n}.

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