Considere a sequência de intervalos
. Mostre que
Quem são supremo e ínfimo dos
's?
Passo 1
O enunciado define os intervalos
e pede para mostrar que
além de identificar o ínfimo e o supremo de cada
. Vamos usar a definição de interseção infinita e a noção de supremum/infimum de intervalos fechados.
Passo 2
Mostramos primeiro que
pertence a todos os
. De fato, para qualquer
temos
logo
. Assim
pertence à interseção de todos os
.
Passo 3
Agora, se
, então
. Seja
um inteiro tal que
Isso é possível pois
. Para esse
temos
Logo
não está em pelo menos um dos
, e portanto não pertence à interseção infinita.
Passo 4
Dos passos anteriores concluímos que
contém
e não contém nenhum outro
. Assim
Passo 5
Para cada
, o intervalo
é fechado e limitado. Seu ínfimo é o menor ponto do intervalo e seu supremo é o maior ponto. Logo
Resposta
Para cada