Sabendo que
é uma solução da equação
use o método de D’Alembert (redução de ordem) para encontrar uma segunda solução linearmente independente e escreva a solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e informa que
é uma solução. O conteúdo aqui é redução de ordem (método de D’Alembert) para achar uma segunda solução
independentemente de
, e depois escrever a solução geral.
Passo 2
Dividimos por
(supondo
) para pôr em forma padrão
onde
. No método de redução de ordem, colocamos
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Defina
. Então a equação vira
Para obter uma solução independente, basta tomar
, logo
Assim
Resposta
A solução geral é
com
constantes arbitrárias.