Sabendo que y_{1}(x)=x é uma solução da equação
x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0
use o método de D’Alembert (redução de ordem) para encontrar uma segunda solução linearmente independente e escreva a solução geral.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}y''-x\,y'+y=0
e informa que y_{1}(x)=x é uma solução. O conteúdo aqui é redução de ordem (método de D’Alembert) para achar uma segunda solução y_{2} independentemente de y_{1}, e depois escrever a solução geral.

Passo 2

Dividimos por x^{2} (supondo x\neq0) para pôr em forma padrão
y''-\frac{1}{x}y'+\frac{1}{x^{2}}y=0,
onde p(x)=-\tfrac{1}{x}. No método de redução de ordem, colocamos
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x)=v(x)\,x.

Passo 3

Calculamos as derivadas de y_{2}:
y_{2}'=v'\,x+v,\qquad y_{2}''=v''\,x+2v'.
Substituindo em
y''-\frac{1}{x}y'+\frac{1}{x^{2}}y=0
obtemos
(v''x+2v')-\frac{1}{x}(v'x+v)+\frac{1}{x^{2}}(vx)=0 \;\Longrightarrow\; v''x+2v'-v'-\frac{v}{x}+\frac{v}{x}=0 \;\Longrightarrow\; x\,v''+v'=0.

Passo 4

Defina u=v'. Então a equação vira
x\,u'+u=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{u'}{u}=-\frac{1}{x} \quad\Longrightarrow\quad u=C\,\frac{1}{x}.
Para obter uma solução independente, basta tomar C=1, logo
v'=\frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; v=\ln x.
Assim
y_{2}(x)=x\,\ln x.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C_{1}\,x+C_{2}\,x\ln x,
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

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