Seja I_{n}=(n,+\infty). Mostre que a interseção de todos os I_{n} 's é vazia.

Passo 1

O enunciado define
I_{n} = (n, +\infty)\quad\text{para cada }n\in\mathbb{N},
e pede para mostrar que
\bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n} = \emptyset.
O tema aqui é teoria de conjuntos e usaremos a propriedade arquimediana dos números reais para provar que não existe ponto comum a todos os I_{n}.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista algum x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n}. Isso significa que, para todo n\in\mathbb{N}, temos
x\in I_{n}\;\Rightarrow\;x>n.
Em outras palavras,
\forall\,n\in\mathbb{N}:\;x>n.

Passo 3

Pela propriedade arquimediana, para qualquer número real x existe um natural N tal que
N > x.
Escolhendo esse N, obtemos a contradição entre
x> N\quad\text{(pois \(x\) estaria em \(I_{N}\))}\quad\text{e}\quad N > x.

Passo 4

Como levamos a uma contradição a suposição de que existia x comum a todos os I_{n}, concluímos que não há nenhum elemento nessa interseção. Portanto

Resposta

\bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n} = \emptyset.

Exercícios relacionados