Seja
. Mostre que a interseção de todos os
's é vazia.
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
O tema aqui é teoria de conjuntos e usaremos a propriedade arquimediana dos números reais para provar que não existe ponto comum a todos os
.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista algum
. Isso significa que, para todo
, temos
Em outras palavras,
Passo 3
Pela propriedade arquimediana, para qualquer número real
existe um natural
tal que
Escolhendo esse
, obtemos a contradição entre
Passo 4
Como levamos a uma contradição a suposição de que existia
comum a todos os
, concluímos que não há nenhum elemento nessa interseção. Portanto