Use Cauchy-Riemann para verificar qual(is) das funções abaixo é(são) analíticas e em que domínio. Conclua calculando a derivada f^{\prime}(z).
f(z)=e^{y}(\cos x+i \sin x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar, via as equações de Cauchy–Riemann, em que domínio a função
f(z)=e^{y}\bigl(\cos x + i\sin x\bigr)
é analítica, e depois calcular f'(z). Aqui o ponto principal é reconhecer que, escrevendo z=x+iy, temos
u(x,y)=e^{y}\cos x, \quad v(x,y)=e^{y}\sin x,
e em seguida aplicar as condições de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de u e v:
u_{x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{y}\cos x\bigr) =-e^{y}\sin x, \quad u_{y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y}\cos x\bigr) =e^{y}\cos x,
v_{x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{y}\sin x\bigr) =e^{y}\cos x, \quad v_{y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y}\sin x\bigr) =e^{y}\sin x.

Passo 3

As equações de Cauchy–Riemann exigem
u_{x}=v_{y} \quad\text{e}\quad u_{y}=-\,v_{x}.
Substituindo:
u_{x}=-e^{y}\sin x, \quad v_{y}=e^{y}\sin x \quad\Longrightarrow\quad -e^{y}\sin x=e^{y}\sin x \quad\Longleftrightarrow\quad \sin x=0,
u_{y}=e^{y}\cos x, \quad -v_{x}=-e^{y}\cos x \quad\Longrightarrow\quad e^{y}\cos x=-e^{y}\cos x \quad\Longleftrightarrow\quad \cos x=0.

Passo 4

Para que ambas as condições se cumpram simultaneamente precisaríamos de \sin x=0 e \cos x=0 ao mesmo tempo, o que não ocorre para nenhum x\in\mathbb{R}. Logo não existe aberto em que as condições de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas.

Passo 5

Concluímos que f não é analítica em nenhum domínio aberto de \mathbb{C}. Assim, não há derivada complexa f'(z) num domínio aberto; em particular, f'(z) não existe como função holomorfa.

Resposta

A função não é analítica em nenhum domínio aberto de \mathbb{C} e, portanto, não tem derivada complexa f'(z).

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