Use Cauchy-Riemann para verificar qual(is) das funções abaixo é(são) analíticas e em que domínio. Conclua calculando a derivada
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, via as equações de Cauchy–Riemann, em que domínio a função
é analítica, e depois calcular
. Aqui o ponto principal é reconhecer que, escrevendo
, temos
e em seguida aplicar as condições de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
e
:
Passo 3
As equações de Cauchy–Riemann exigem
Substituindo:
Passo 4
Para que ambas as condições se cumpram simultaneamente precisaríamos de
e
ao mesmo tempo, o que não ocorre para nenhum
. Logo não existe aberto em que as condições de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas.
Passo 5
Concluímos que
não é analítica em nenhum domínio aberto de
. Assim, não há derivada complexa
num domínio aberto; em particular,
não existe como função holomorfa.
Resposta
A função não é analítica em nenhum domínio aberto de
e, portanto, não tem derivada complexa
.