Considere a sequência \left\{a_{n}\right\}, em que a_{n}=\frac{n^{3}}{4 n^{3}-7}. Preencha o espaço com seu valor de convergência.
[Obs.: Se o valor de convergência for um número inteiro, coloque os algarismos de tal número. Se, por outro lado, for uma fração, coloque a sua forma decimal com até duas casas.

Passo 1

O enunciado define a sequência \{a_{n}\} por
a_{n} = \frac{n^{3}}{4n^{3} - 7}
e pede o valor para o qual a_{n} converge quando n\to\infty. Vamos usar o conceito de termos dominantes em polinômios para calcular esse limite.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por n^{3}, o maior grau em ambos:
a_{n} = \frac{n^{3}}{4n^{3}-7} = \frac{\tfrac{n^{3}}{n^{3}}}{\tfrac{4n^{3}-7}{n^{3}}} = \frac{1}{4 - \tfrac{7}{n^{3}}}.
À medida que n\to\infty, temos \tfrac{7}{n^{3}}\to 0, logo
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{1}{4}.

Passo 3

Convertendo \tfrac{1}{4} em decimal com até duas casas, obtemos 0,25.

Resposta

0,25

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