Considere uma sequência \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}. Suponha que \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a.
(a) Se a<b, mostre que para n>n_{0} temos que a_{n}<b;
(b) Se a>b, mostre que para n>n_{0} temos que a_{n}>b.

Passo 1

O enunciado considera uma sequência \left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} tal que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=a.
Precisamos mostrar duas coisas:
(a) se a<b, então existe n_{0} tal que, para todo n>n_{0}, vale a_{n}<b;
(b) se a>b, então existe n_{0} tal que, para todo n>n_{0}, vale a_{n}>b.
Usaremos a definição de limite de sequência.

Passo 2

Definição de limite: dizer que \lim_{n\to\infty}a_{n}=a significa que, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n>N, temos
|a_{n}-a|<\varepsilon.
Isto equivale a
-\varepsilon < a_{n}-a < \varepsilon,
ou seja
a-\varepsilon < a_{n} < a+\varepsilon.

Passo 3

Caso (a): suponha a<b. Então \Delta=b-a>0. Escolha
\varepsilon = \frac{\Delta}{2} = \frac{b-a}{2}>0.
Pela definição de limite, existe N_{1} tal que, para todo n>N_{1}, vale
|a_{n}-a|<\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad a_{n} < a + \varepsilon = a + \frac{b-a}{2} = \frac{a+b}{2}.
Como \frac{a+b}{2}<b, concluímos que, para n>N_{1},
a_{n}<b.
Basta então tomar n_{0}=N_{1}.

Passo 4

Caso (b): suponha a>b. Então \Delta'=a-b>0. Escolha
\varepsilon = \frac{\Delta'}{2} = \frac{a-b}{2}>0.
Pela definição de limite, existe N_{2} tal que, para todo n>N_{2}, vale
|a_{n}-a|<\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad a_{n} > a - \varepsilon = a - \frac{a-b}{2} = \frac{a+b}{2}.
Como \frac{a+b}{2}>b, concluímos que, para n>N_{2},
a_{n}>b.
Basta então tomar n_{0}=N_{2}.

Resposta

(a) Se a<b, escolhemos \varepsilon=(b-a)/2 e obtemos um n_{0} tal que, para n>n_{0}, a_{n}<b.
(b) Se a>b, escolhemos \varepsilon=(a-b)/2 e obtemos um n_{0} tal que, para n>n_{0}, a_{n}>b.

Exercícios relacionados