Considere uma sequência
. Suponha que
.
(a) Se
, mostre que para
temos que
;
(b) Se
, mostre que para
temos que
.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado considera uma sequência
tal que
Precisamos mostrar duas coisas:
(a) se , então existe
tal que, para todo
, vale
;
(b) se , então existe
tal que, para todo
, vale
.
Usaremos a definição de limite de sequência.
(a) se
(b) se
Usaremos a definição de limite de sequência.
Passo 2
Definição de limite: dizer que
significa que, para todo
, existe
tal que, para todo
, temos
Isto equivale a
ou seja
Passo 3
Caso (a): suponha
. Então
. Escolha
Pela definição de limite, existe
tal que, para todo
, vale
Como
, concluímos que, para
,
Basta então tomar
.
Passo 4
Caso (b): suponha
. Então
. Escolha
Pela definição de limite, existe
tal que, para todo
, vale
Como
, concluímos que, para
,
Basta então tomar
.
Resposta
(a) Se
, escolhemos
e obtemos um
tal que, para
,
.
(b) Se , escolhemos
e obtemos um
tal que, para
,
.
(b) Se