Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série?
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado pede: para quais das séries abaixo o teste da raiz (teste da raiz
-ésima) nos permite concluir a convergência da série? As séries dadas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Informações relevantes dadas: cada termo geral está na forma
(muitas vezes como uma expressão elevada a
). A pergunta é especificamente em quais dessas séries o teste da raiz permite concluir convergência (ou seja, onde o teste dá
).
Passo 2
Ensinando o teste da raiz de forma clara e prática:
- Definição do teste da raiz: para uma série
com (ou complexos), definimos
- Interpretação:
- Se
então a série converge absolutamente (portanto converge). - Se
então a série diverge. - Se
o teste é inconclusivo (não decide).
- Se
- Como aplicar na prática quando
tem a forma : então
ou seja, basta estudar o limite (ou
) de
.
- Quando
é produto de algo^n dividido por algo^n ou tem potências, a raiz -ésima frequentemente simplifica bem. Em termos práticos, sempre tente escrever
e então calcule o limite quando
.
Agora aplico esse procedimento a cada item, mostrando passo a passo as contas e a justificativa dos limites.
Passo 3
Termo geral:
Primeiro calculei a soma geométrica interna (peguei a expressão da série geométrica finita):
Logo
Aplicando a raiz
-ésima:
Agora tomo o limite quando
:
Como
, o teste da raiz dá
e conclui que a série diverge. Portanto o teste da raiz não permite concluir convergência para (a).
Passo 4
Termo geral:
Raiz
-ésima:
Sabemos (fato limite padrão) que
. Portanto
Como
(na verdade
), o teste da raiz dá
e a série diverge. Logo não permite concluir convergência para (b).
Passo 5
Termo geral:
Raiz
-ésima:
Agora estudamos o limite
.
Uma maneira didática de ver que isso vai a : escrevemos
, então
Uma maneira didática de ver que isso vai a
Como
quando
, o expoente
, portanto a expressão tende a
. Em termos menos técnicos: potências polinomiais de
crescem muito mais devagar que
e aqui
vence claramente
.
Assim
Assim
Como
, o teste da raiz dá
e conclui que a série converge absolutamente (logo converge). Portanto (c) é aceita pelo teste da raiz.
Passo 6
Termo geral:
Para estudar a raiz basta analisar a razão interna. Divido numerador e denominador por
:
Quando
as frações que têm
no denominador vão a zero, assim a expressão interna tende a
Como
é exatamente essa expressão interna (pois
), temos
Como
, o teste da raiz dá
e conclui que a série converge absolutamente. Portanto (d) é aceita pelo teste da raiz.
Passo 7
Termo geral:
Raiz
-ésima:
Tomando limite:
Logo o teste da raiz produz
, que é inconclusivo: com
o teste da raiz não decide convergência nem divergência. (Observação extra: embora o teste da raiz seja inconclusivo aqui, podemos notar que
, então os termos não tendem a zero e a série diverge; mas isso é outro teste, não o teste da raiz.)
Portanto o teste da raiz não permite concluir convergência para (e).
Passo 8
Termo geral:
Divido numerador e denominador por
:
Quando
isso tende a
Como
é exatamente essa expressão interna, temos
E
, logo o teste da raiz dá
e a série diverge. Portanto (f) não é aceita pelo teste da raiz.
Passo 9
Dos itens analisados, o teste da raiz conclui convergência somente quando o limite
da raiz
-ésima é menor que
. Isso ocorreu em:
- (c):
→ converge por teste da raiz. - (d):
→ converge por teste da raiz.
Os demais itens deram
(alguns
que implicam divergência, e um caso
inconclusivo), portanto o teste da raiz não permite concluir convergência neles.
Resposta
(c)
(d)
(d)