Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série?
(a) \sum_{n=0}^{\infty}\left(1+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{4^{n}}\right)^{n}.
(b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{2 n}}{n}.
(c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\ln (n))^{5 n}}{n^{3 n}}.
(d) \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\frac{1}{3}+2 n^{3}+5}{3 n^{3}-2}\right)^{n}.
(e) \sum_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-3 n}.
(f) \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5 n^{5}+4 n^{3}-10 n}{2 n^{5}-9 n^{2}+512}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede: para quais das séries abaixo o teste da raiz (teste da raiz n-ésima) nos permite concluir a convergência da série? As séries dadas são:
(a) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(1+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{4^{n}}\right)^{n}.
(b) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\pi^{2n}}{n}.
(c) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln(n))^{5n}}{n^{3n}}.
(d) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\frac{1}{3}+2n^{3}+5}{3n^{3}-2}\right)^{n}.
(e) \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-3n}.
(f) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5n^{5}+4n^{3}-10n}{2n^{5}-9n^{2}+512}\right)^{n}.
Informações relevantes dadas: cada termo geral está na forma a_n (muitas vezes como uma expressão elevada a n). A pergunta é especificamente em quais dessas séries o teste da raiz permite concluir convergência (ou seja, onde o teste dá L<1).

Passo 2

Ensinando o teste da raiz de forma clara e prática:
  • Definição do teste da raiz: para uma série \displaystyle\sum a_n com a_n\in\mathbb{R} (ou complexos), definimos
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
  • Interpretação:
    • Se L<1 então a série converge absolutamente (portanto converge).
    • Se L>1 então a série diverge.
    • Se L=1 o teste é inconclusivo (não decide).
  • Como aplicar na prática quando a_n tem a forma (b_n)^n: então
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{|b_n|^n}=|b_n|,
ou seja, basta estudar o limite (ou \limsup) de b_n.
  • Quando a_n é produto de algo^n dividido por algo^n ou tem potências, a raiz n-ésima frequentemente simplifica bem. Em termos práticos, sempre tente escrever
\sqrt[n]{a_n}=\text{expressão simples},ã
e então calcule o limite quando n\to\infty.
Agora aplico esse procedimento a cada item, mostrando passo a passo as contas e a justificativa dos limites.

Passo 3

Termo geral:
a_n=\left(1+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{4^{n}}\right)^{n}.
Primeiro calculei a soma geométrica interna (peguei a expressão da série geométrica finita):
1+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{4^{n}}=\frac{1-(1/4)^{\,n+1}}{1-1/4}=\frac{1-4^{-(n+1)}}{3/4}=\frac{4}{3}\left(1-4^{-(n+1)}\right).
Logo
a_n=\left(\frac{4}{3}\left(1-4^{-(n+1)}\right)\right)^{n}.
Aplicando a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{a_n}=\frac{4}{3}\left(1-4^{-(n+1)}\right).
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{4}{3}\cdot\lim_{n\to\infty}\left(1-4^{-(n+1)}\right)=\frac{4}{3}\cdot 1=\frac{4}{3}.
Como \displaystyle \frac{4}{3}>1, o teste da raiz dá L>1 e conclui que a série diverge. Portanto o teste da raiz não permite concluir convergência para (a).

Passo 4

Termo geral:
a_n=\frac{\pi^{2n}}{n}.
Raiz n-ésima:
\sqrt[n]{a_n}=\frac{\pi^{2n/n}}{n^{1/n}}=\frac{\pi^{2}}{n^{1/n}}.
Sabemos (fato limite padrão) que \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1. Portanto
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\pi^{2}.
Como \pi^{2}>1 (na verdade \pi^{2}\approx 9{,}87), o teste da raiz dá L>1 e a série diverge. Logo não permite concluir convergência para (b).

Passo 5

Termo geral:
a_n=\frac{(\ln(n))^{5n}}{n^{3n}}.
Raiz n-ésima:
\sqrt[n]{a_n}=\frac{(\ln n)^{5}}{n^{3}}.
Agora estudamos o limite \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(\ln n)^{5}}{n^{3}}.
Uma maneira didática de ver que isso vai a 0: escrevemos n^{3}=e^{3\ln n}, então
\frac{(\ln n)^{5}}{n^{3}}=(\ln n)^{5}e^{-3\ln n}=e^{5\ln(\ln n)-3\ln n}.
Como \ln(\ln n)=o(\ln n) quando n\to\infty, o expoente 5\ln(\ln n)-3\ln n\to -\infty, portanto a expressão tende a 0. Em termos menos técnicos: potências polinomiais de \ln n crescem muito mais devagar que n^{\varepsilon} e aqui n^{3} vence claramente (\ln n)^{5}.
Assim
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=0.
Como 0<1, o teste da raiz dá L<1 e conclui que a série converge absolutamente (logo converge). Portanto (c) é aceita pelo teste da raiz.

Passo 6

Termo geral:
a_n=\left(\frac{\frac{1}{3}+2n^{3}+5}{3n^{3}-2}\right)^{n}.
Para estudar a raiz basta analisar a razão interna. Divido numerador e denominador por n^{3}:
\frac{\frac{1}{3}+2n^{3}+5}{3n^{3}-2}=\frac{2+\frac{1}{3n^{3}}+\frac{5}{n^{3}}}{3-\frac{2}{n^{3}}}.
Quando n\to\infty as frações que têm n no denominador vão a zero, assim a expressão interna tende a
\frac{2}{3}.
Como \sqrt[n]{a_n} é exatamente essa expressão interna (pois a_n=(\text{interna})^n), temos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{2}{3}.
Como \displaystyle \frac{2}{3}<1, o teste da raiz dá L<1 e conclui que a série converge absolutamente. Portanto (d) é aceita pelo teste da raiz.

Passo 7

Termo geral:
a_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-3n}.
Raiz n-ésima:
\sqrt[n]{a_n}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-3}.
Tomando limite:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\left(\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)\right)^{-3}=1^{-3}=1.
Logo o teste da raiz produz L=1, que é inconclusivo: com L=1 o teste da raiz não decide convergência nem divergência. (Observação extra: embora o teste da raiz seja inconclusivo aqui, podemos notar que a_n=(1-1/n)^{-3n}\to e^{3}, então os termos não tendem a zero e a série diverge; mas isso é outro teste, não o teste da raiz.)
Portanto o teste da raiz não permite concluir convergência para (e).

Passo 8

Termo geral:
a_n=\left(\frac{5n^{5}+4n^{3}-10n}{2n^{5}-9n^{2}+512}\right)^{n}.
Divido numerador e denominador por n^{5}:
\frac{5n^{5}+4n^{3}-10n}{2n^{5}-9n^{2}+512}=\frac{5+\frac{4}{n^{2}}-\frac{10}{n^{4}}}{2-\frac{9}{n^{3}}+\frac{512}{n^{5}}}.
Quando n\to\infty isso tende a
\frac{5}{2}.
Como \sqrt[n]{a_n} é exatamente essa expressão interna, temos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{5}{2}.
E \displaystyle \frac{5}{2}>1, logo o teste da raiz dá L>1 e a série diverge. Portanto (f) não é aceita pelo teste da raiz.

Passo 9

Dos itens analisados, o teste da raiz conclui convergência somente quando o limite L da raiz n-ésima é menor que 1. Isso ocorreu em:
  • (c): \displaystyle L=0<1 → converge por teste da raiz.
  • (d): \displaystyle L=\tfrac{2}{3}<1 → converge por teste da raiz.
Os demais itens deram L\ge 1 (alguns >1 que implicam divergência, e um caso =1 inconclusivo), portanto o teste da raiz não permite concluir convergência neles.

Resposta

(c)
(d)

Exercícios relacionados