Em geral não é possível determinar o limite exato de uma série numérica convergente, então uma primeira aproximação que pode sempre ser tentada consiste em “truncar” a série, ou seja, aproximar a série por uma soma parcial. A questão é decidir quão boa, ou ruim, é tal aproximação. Para séries de termos positivos \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} em que a sequência a_{k} é decrescente para 0 , a mesma lógica usada para provar o critério da integral pode ser usada em muitos casos para se obter uma cota superior e uma cota inferior para o erro em aproximar a série pela soma parcial s_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}. Assinale a alternativa correta para o erro a seguir:
\mathrm{ERRO}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{3}}-\sum_{k=1}^{6} \frac{1}{k^{3}}
(a) \frac{1}{98} \leq \mathrm{ERRO} \leq \frac{1}{72}
(b) \frac{1}{216} \leq \mathrm{ERRO} \leq \frac{1}{125}
(c) \frac{1}{128} \leq \mathrm{ERRO} \leq \frac{1}{98}
(d) Nenhuma das outras alternativas está correta.
(e) \frac{1}{343} \leq ERRO \leq \frac{1}{216}
(f) \frac{1}{162} \leq \mathrm{ERRO} \leq \frac{1}{128}

Passo 1

O enunciado pede que a gente estime o erro ao truncar a série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{3}} pela soma parcial até k=6. São as seguintes as informações relevantes fornecidas:
  • A série completa é \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{3}}.
  • A soma parcial considerada é s_{6}=\sum_{k=1}^{6}\dfrac{1}{k^{3}}.
  • O erro está definido por
\mathrm{ERRO}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{3}}-\sum_{k=1}^{6}\frac{1}{k^{3}}.
  • Observação útil: essa diferença é a cauda da série, isto é,
\mathrm{ERRO}=\sum_{k=7}^{\infty}\frac{1}{k^{3}}.

Passo 2

Vamos usar uma desigualdade padrão (ligada ao critério da integral) que vale para funções positivas e decrescentes: se f é positiva e decrescente em [n,\infty) então
\int_{n+1}^{\infty} f(x)\,dx \le \sum_{k=n+1}^{\infty} f(k) \le \int_{n}^{\infty} f(x)\,dx.
Explicação didática do porquê dessa desigualdade (ideia geométrica e comparação por retângulos):
  • Para cada inteiro k\ge n+1, como f é decrescente, valem as desigualdades ponto a ponto
f(k) \le \int_{k-1}^{k} f(x)\,dx \le f(k-1).
A primeira desigualdade vem do fato de que em [k-1,k] a função atinge pelo menos o valor f(k) (é decrescente), então a área do retângulo de base 1 e altura f(k) é menor ou igual à integral no intervalo; a segunda vem do retângulo de altura f(k-1) que domina a integral.
  • Somando essas desigualdades para k=n+1,n+2,\dots obtemos as desigualdades anunciadas, porque a soma das integrais \sum_{k=n+1}^{\infty}\int_{k-1}^{k} f(x)\,dx é igual a \int_{n}^{\infty} f(x)\,dx, e similarmente para o limite inferior.

Passo 3

Aplicamos a desigualdade ao nosso caso com f(x)=\dfrac{1}{x^{3}} e n=6. Então
\int_{7}^{\infty} \frac{1}{x^{3}}\,dx \le \sum_{k=7}^{\infty}\frac{1}{k^{3}} \le \int_{6}^{\infty}\frac{1}{x^{3}}\,dx.
Lembre que \mathrm{ERRO}=\sum_{k=7}^{\infty}\dfrac{1}{k^{3}}, então essas integrais dão uma cota inferior e uma cota superior para \mathrm{ERRO}.

Passo 4

Calculamos as integrais. Primeiro a primitiva de x^{-3}:
\int x^{-3}\,dx = \int x^{-3}\,dx = -\tfrac{1}{2}x^{-2}+C = -\frac{1}{2x^{2}}+C.
Agora avaliamos os limites impróprios.
  • Para o limite superior:
\int_{6}^{\infty}\frac{1}{x^{3}}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{2x^{2}}\right]_{6}^{b} = \lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{2b^{2}}+\frac{1}{2\cdot 6^{2}}\right) = \frac{1}{2\cdot 6^{2}}.
Como 6^{2}=36, isso dá
\int_{6}^{\infty}\frac{1}{x^{3}}\,dx = \frac{1}{2\cdot 36} = \frac{1}{72}.
  • Para o limite inferior:
\int_{7}^{\infty}\frac{1}{x^{3}}\,dx = \frac{1}{2\cdot 7^{2}} = \frac{1}{2\cdot 49} = \frac{1}{98}.

Passo 5

Portanto, pelas desigualdades do Passo 3 e pelos valores calculados no Passo 4, temos
\frac{1}{98} \le \mathrm{ERRO} \le \frac{1}{72}.
Isso corresponde exatamente à alternativa (a).

Resposta

(a) \dfrac{1}{98} \leq \mathrm{ERRO} \leq \dfrac{1}{72}

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