Em geral não é possível determinar o limite exato de uma série numérica convergente, então uma primeira aproximação que pode sempre ser tentada consiste em “truncar” a série, ou seja, aproximar a série por uma soma parcial. A questão é decidir quão boa, ou ruim, é tal aproximação. Para séries de termos positivos
em que a sequência
é decrescente para 0 , a mesma lógica usada para provar o critério da integral pode ser usada em muitos casos para se obter uma cota superior e uma cota inferior para o erro em aproximar a série pela soma parcial
. Assinale a alternativa correta para o erro a seguir:
(a)
(b)
(c)
(d) Nenhuma das outras alternativas está correta.
(e)
ERRO
(f)
(b)
(c)
(d) Nenhuma das outras alternativas está correta.
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado pede que a gente estime o erro ao truncar a série
pela soma parcial até
. São as seguintes as informações relevantes fornecidas:
- A série completa é
. - A soma parcial considerada é
. - O erro está definido por
- Observação útil: essa diferença é a cauda da série, isto é,
Passo 2
Vamos usar uma desigualdade padrão (ligada ao critério da integral) que vale para funções positivas e decrescentes: se
é positiva e decrescente em
então
Explicação didática do porquê dessa desigualdade (ideia geométrica e comparação por retângulos):
- Para cada inteiro
, como é decrescente, valem as desigualdades ponto a ponto
A primeira desigualdade vem do fato de que em
a função atinge pelo menos o valor
(é decrescente), então a área do retângulo de base
e altura
é menor ou igual à integral no intervalo; a segunda vem do retângulo de altura
que domina a integral.
- Somando essas desigualdades para
obtemos as desigualdades anunciadas, porque a soma das integrais é igual a , e similarmente para o limite inferior.
Passo 3
Aplicamos a desigualdade ao nosso caso com
e
. Então
Lembre que
, então essas integrais dão uma cota inferior e uma cota superior para
.
Passo 4
Calculamos as integrais. Primeiro a primitiva de
:
Agora avaliamos os limites impróprios.
- Para o limite superior:
Como
, isso dá
- Para o limite inferior:
Passo 5
Portanto, pelas desigualdades do Passo 3 e pelos valores calculados no Passo 4, temos
Isso corresponde exatamente à alternativa (a).
Resposta
(a)