Considere a sequência
definida por
, com
. Demonstre que (
) é convergente e determine o seu limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
com a constante real
. As perguntas são:
- Mostrar que a sequência
é convergente. - Determinar o seu limite (isto é, encontrar o número real
tal que quando ).
Informações relevantes fornecidas:
-
varia em . -
é fixo e satisfaz . - Cada termo
é positivo, pois o denominador é positivo para todo .
Passo 2
Lembrete da definição (a ferramenta que vamos usar): dizer que a sequência
converge para
significa que
Aqui vamos procurar um candidato natural para
. Observação intuitiva: quando
cresce,
cresce sem limite (porque
), logo o denominador
tende a
, de modo que a fração
deve tender a
. Assim o candidato para o limite é
. Agora vamos provar isso rigorosamente com um argumento
-
.
Passo 3
Primeiro uma desigualdade simples que facilita o controle: para todo
vale
portanto
Portanto, para mostrar que
basta mostrar que
quando
(pois
e
tende a
).
Passo 4
Prova direta de que
usando
-
.
Dado
fixo, escolha um inteiro
onde
é o teto de
. Então
, e assim
Para todo
temos
. Logo para
o que implica
Isso prova, pela definição, que
quando
.
Passo 5
Comentário extra (intuição e alternativa): uma outra maneira de ver que o limite é
é notar que a sequência
é positiva e estritamente decrescente (pois
implica
), e é limitada inferiormente por
; portanto tem limite finito, e o passo anterior mostra que esse limite deve ser
. Mas a prova
-
dada é a forma direta e completa.
Resposta
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