Considere a sequência \left(t_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} definida por t_{n}=\frac{1}{n^{k}+1}, com k>1. Demonstre que ( t_{n} ) é convergente e determine o seu limite.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(t_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} definida por
t_{n}=\frac{1}{n^{k}+1},
com a constante real \,k>1. As perguntas são:
  • Mostrar que a sequência \left(t_{n}\right) é convergente.
  • Determinar o seu limite (isto é, encontrar o número real L tal que t_n\to L quando n\to\infty).
Informações relevantes fornecidas:
  • n varia em \mathbb{N}.
  • k é fixo e satisfaz \,k>1.
  • Cada termo t_{n} é positivo, pois o denominador n^{k}+1 é positivo para todo n.

Passo 2

Lembrete da definição (a ferramenta que vamos usar): dizer que a sequência (t_n) converge para L significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }N\in\mathbb{N}\\ \text{tal que, para todo }n\ge N,\\ |t_n-L|<\varepsilon.
Aqui vamos procurar um candidato natural para L. Observação intuitiva: quando n cresce, n^{k} cresce sem limite (porque k>0), logo o denominador n^{k}+1 tende a +\infty, de modo que a fração 1/(n^{k}+1) deve tender a 0. Assim o candidato para o limite é L=0. Agora vamos provar isso rigorosamente com um argumento \varepsilon- N.

Passo 3

Primeiro uma desigualdade simples que facilita o controle: para todo n\in\mathbb{N} vale
n^{k}+1 \ge n^{k},
portanto
t_{n}=\frac{1}{n^{k}+1}\le\frac{1}{n^{k}}=n^{-k}.
Portanto, para mostrar que t_n\to0 basta mostrar que n^{-k}\to0 quando n\to\infty (pois 0\le t_n\le n^{-k} e n^{-k} tende a 0).

Passo 4

Prova direta de que n^{-k}\to0 usando \varepsilon- N.
Dado \varepsilon>0 fixo, escolha um inteiro
N=\left\lceil \varepsilon^{-1/k}\right\rceil + 1,
onde \lceil x\rceil é o teto de x. Então N>\varepsilon^{-1/k}, e assim
N^{-k}<\bigl(\varepsilon^{-1/k}\bigr)^{-k}=\varepsilon.
Para todo n\ge N temos n^{-k}\le N^{-k}<\varepsilon. Logo para n\ge N
0\le t_{n}\le n^{-k}<\varepsilon,
o que implica
|t_{n}-0|=t_{n}<\varepsilon.
Isso prova, pela definição, que t_{n}\to0 quando n\to\infty.

Passo 5

Comentário extra (intuição e alternativa): uma outra maneira de ver que o limite é 0 é notar que a sequência (t_n) é positiva e estritamente decrescente (pois (n+1)^{k}>n^{k} implica t_{n+1}<t_n), e é limitada inferiormente por 0; portanto tem limite finito, e o passo anterior mostra que esse limite deve ser 0. Mas a prova \varepsilon- N dada é a forma direta e completa.

Resposta

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