Utilizando a definição de sequência de Cauchy, determine quais das sequências abaixo são sequências de Cauchy em \mathbb{R}. Justifique rigorosamente cada caso. x_{n}=\frac{n+1}{n}.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a sequência x_{n}=\dfrac{n+1}{n} é uma sequência de Cauchy em \mathbb{R}.
Informações dadas:
A sequência é \displaystyle x_{n}=\frac{n+1}{n} para n\in\mathbb{N}.
A pergunta é: “esta sequência é de Cauchy em \mathbb{R}?” — é preciso justificar rigorosamente.
Passo 2
Relembrando (com calma) a definição de sequência de Cauchy:
Uma sequência (x_n) é de Cauchy se, e somente se, vale o seguinte:
para todo \varepsilon>0 existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todos n,m\ge N,
|x_n-x_m|<\varepsilon.
Interpretando: depois de um certo índice N todos os termos da sequência ficam mutuamente muito próximos uns dos outros (a distância entre quaisquer dois termos posteriores a N é menor que \varepsilon). No exame, a prova típica pede: dado \varepsilon>0, constrói-se um N que depende de \varepsilon e mostra-se a desigualdade acima.
Passo 3
Primeiro simplificamos a expressão dos termos e da diferença entre dois termos quaisquer. Observe que
Essa é a quantidade que precisamos controlar para tornar menor que \varepsilon.
Passo 4
Vamos obter uma desigualdade simples e útil para \left|\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{m}\right|. Seja k=\min\{n,m\}. Como k\le n e k\le m temos \dfrac{1}{n}\le \dfrac{1}{k} e \dfrac{1}{m}\le \dfrac{1}{k}. Portanto
Em palavras: a diferença entre 1/n e 1/m é no máximo o maior entre 1/n e 1/m, que por sua vez é no máximo 1/\min\{n,m\}.
Passo 5
Agora a prova \varepsilon-N. Seja um \varepsilon>0 qualquer. Escolhemos N\in\mathbb{N} tal que
\frac{1}{N}<\varepsilon.
Um exemplo concreto que sempre funciona é N=\left\lfloor\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rfloor+1 (pela propriedade arquimediana existe tal inteiro). Agora, para quaisquer n,m\ge N temos \min\{n,m\}\ge N e, usando a desigualdade do passo anterior,
Isso mostra exatamente a condição da definição de Cauchy: dado \varepsilon>0 existe N (o escolhido acima) tal que para todos n,m\ge N vale |x_n-x_m|<\varepsilon.
Passo 6
Comentário rápido e útil para a prova: outra via, mais curta, é notar que x_n=1+\dfrac{1}{n} converge para 1 quando n\to\infty. Como \mathbb{R} é completo, toda sequência convergente em \mathbb{R} é de Cauchy. Mas no exame é bom saber fazer a prova \varepsilon-N explícita (como fizemos acima), caso não seja permitido usar diretamente completude.
Resposta
A sequência x_{n}=\dfrac{n+1}{n} é de Cauchy em \mathbb{R}.