Seja \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} a sequência definida por x_{n}=\frac{2 n}{n+1}.
(a) Utilize a definição para demonstrar que \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=2.
(b) Determine um valor numérico para n_{0} correspondente a \varepsilon=0,125, utilizando a relação encontrada no item (a).
Passo 1
O enunciado dá a sequência \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} definida por
x_{n}=\frac{2n}{n+1}.
Pede duas coisas:
(a) Usar a definição (épsilon–N) para demonstrar que \lim_{n\to\infty} x_{n}=2.
(b) Para \varepsilon=0,125, determinar um valor numérico n_{0} usando a relação encontrada no item (a).
Passo 2
Vou lembrar a definição que vamos usar (explicando com calma).
A afirmação \lim_{n\to\infty} x_{n}=2 pela definição significa:
para todo \varepsilon>0 existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|x_{n}-2|<\varepsilon.
Aqui \varepsilon é qualquer tolerância pequena que escolhermos; mostrar o limite é fornecer uma regra que dá um N (em função de \varepsilon) que garante a desigualdade acima. Nosso objetivo é manipular |x_{n}-2| e obter uma condição do tipo n\ge N(\varepsilon).
Passo 3
Calculo a diferença |x_{n}-2| e simplifico passo a passo, sem pular nada.
Portanto, qualquer n maior do que \dfrac{2}{\varepsilon}-1 satisfaz a condição. Para trabalhar com índices inteiros, precisamos escolher um N\in\mathbb{N} que assegure essa desigualdade para todo n\ge N.
Passo 5
Escolho uma fórmula prática para N. Uma escolha simples e segura é
onde \lceil\cdot\rceil é a função teto (parte inteira superior), ou seja, o menor inteiro maior ou igual ao número. Vou justificar por que essa escolha funciona: seja N=\left\lceil\dfrac{2}{\varepsilon}\right\rceil. Então, por definição de teto, N\ge\dfrac{2}{\varepsilon}. Assim, para todo n\ge N tem-se
n+1\ge N+1>\frac{2}{\varepsilon},
porque N+1>N\ge\dfrac{2}{\varepsilon}. Daí segue
\frac{2}{n+1}<\varepsilon,
ou seja |x_{n}-2|<\varepsilon. Isso prova, usando a definição épsilon–N, que \lim_{n\to\infty} x_{n}=2.
Observação prática: qualquer escolha de N inteiro que satisfaça N>\dfrac{2}{\varepsilon}-1 serve; a fórmula com teto dá uma escolha explícita e simples de aplicar na prova.
Passo 6
Agora aplico a relação ao caso \varepsilon=0,125. Primeiro calcule: