Seja \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} a sequência definida por x_{n}=\frac{2 n}{n+1}.
(a) Utilize a definição para demonstrar que \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=2.
(b) Determine um valor numérico para n_{0} correspondente a \varepsilon=0,125, utilizando a relação encontrada no item (a).

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} definida por
x_{n}=\frac{2n}{n+1}.
Pede duas coisas:
(a) Usar a definição (épsilon– N) para demonstrar que \lim_{n\to\infty} x_{n}=2.
(b) Para \varepsilon=0,125, determinar um valor numérico n_{0} usando a relação encontrada no item (a).

Passo 2

Vou lembrar a definição que vamos usar (explicando com calma).
A afirmação \lim_{n\to\infty} x_{n}=2 pela definição significa:
para todo \varepsilon>0 existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|x_{n}-2|<\varepsilon.
Aqui \varepsilon é qualquer tolerância pequena que escolhermos; mostrar o limite é fornecer uma regra que dá um N (em função de \varepsilon) que garante a desigualdade acima. Nosso objetivo é manipular |x_{n}-2| e obter uma condição do tipo n\ge N(\varepsilon).

Passo 3

Calculo a diferença |x_{n}-2| e simplifico passo a passo, sem pular nada.
|x_{n}-2|=\left|\frac{2n}{n+1}-2\right|.
Coloco na mesma fração:
\frac{2n}{n+1}-2=\frac{2n-2(n+1)}{n+1}=\frac{2n-2n-2}{n+1}=\frac{-2}{n+1}.
Tomando o valor absoluto,
|x_{n}-2|=\left|\frac{-2}{n+1}\right|=\frac{2}{n+1},
pois n+1>0 para todo n\in\mathbb{N}. Assim a diferença entre o termo da sequência e 2 é exatamente \dfrac{2}{n+1}.

Passo 4

Agora uso essa expressão para impor |x_{n}-2|<\varepsilon. Substituindo:
\frac{2}{n+1}<\varepsilon.
Resolvo essa desigualdade para n. Como todos os termos são positivos, posso inverter e rearranjar sem mudar o sentido (faço passo a passo):
\frac{2}{n+1}<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad n+1>\frac{2}{\varepsilon} \quad\Longleftrightarrow\quad n>\frac{2}{\varepsilon}-1.
Portanto, qualquer n maior do que \dfrac{2}{\varepsilon}-1 satisfaz a condição. Para trabalhar com índices inteiros, precisamos escolher um N\in\mathbb{N} que assegure essa desigualdade para todo n\ge N.

Passo 5

Escolho uma fórmula prática para N. Uma escolha simples e segura é
N(\varepsilon)=\left\lceil\frac{2}{\varepsilon}\right\rceil,
onde \lceil\cdot\rceil é a função teto (parte inteira superior), ou seja, o menor inteiro maior ou igual ao número. Vou justificar por que essa escolha funciona: seja N=\left\lceil\dfrac{2}{\varepsilon}\right\rceil. Então, por definição de teto, N\ge\dfrac{2}{\varepsilon}. Assim, para todo n\ge N tem-se
n+1\ge N+1>\frac{2}{\varepsilon},
porque N+1>N\ge\dfrac{2}{\varepsilon}. Daí segue
\frac{2}{n+1}<\varepsilon,
ou seja |x_{n}-2|<\varepsilon. Isso prova, usando a definição épsilon– N, que \lim_{n\to\infty} x_{n}=2.
Observação prática: qualquer escolha de N inteiro que satisfaça N>\dfrac{2}{\varepsilon}-1 serve; a fórmula com teto dá uma escolha explícita e simples de aplicar na prova.

Passo 6

Agora aplico a relação ao caso \varepsilon=0,125. Primeiro calcule:
\frac{2}{\varepsilon}=\frac{2}{0,125}=\frac{2}{1/8}=2\cdot8=16.
Tomando o teto:
N=\left\lceil\frac{2}{\varepsilon}\right\rceil=\lceil 16\rceil=16.
Logo, para todo n\ge 16 temos |x_{n}-2|<0,125. Verificação rápida numérica: para n=16,
|x_{16}-2|=\frac{2}{16+1}=\frac{2}{17}\approx 0,117647\ldots<0,125,
confirmando que n_{0}=16 é uma escolha válida.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_{n}=2
n_{0}=16

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