Considere a sequência an=integral1^n 1x^p d x.
Mostre que (an) não é limitada se p <= 1.

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = integral1^n 1x^p,dx
e pede para mostrar que (an) não é limitada quando p <= 1.
Vamos usar o cálculo da integral imprópria de 1x^p e o critério da integral p-adica para decidir a divergência.

Passo 2

Primeiro calculamos a primitiva de x^-p para o caso p neq 1.
integral x^-p,dx = x^1-p1-p + C
Logo, para p neq 1,
an = integral1^n x^-p,dx = x^1-p1-p|1^n = n^1-p-11-p

Passo 3

Se p<1, então 1-p>0 e 11-p>0. Assim
an = n^1-p-11-p
é uma constante positiva vezes n^1-p menos outra constante. Como n^1-ptoinfty quando ntoinfty, segue que antoinfty. Portanto (an) não é limitada.

Passo 4

Se p=1, a integral é
an = integral1^n 1x,dx = ln n
E ln ntoinfty quando ntoinfty. Logo, novamente (an) não é limitada.

Passo 5

Em ambos os casos p<1 e p=1, mostramos que antoinfty. Concluímos que, se p<=1, a sequência (an) cresce sem limite e, portanto, não é limitada.

Resposta

A sequência (an) não é limitada quando p<=1, pois
  • para p<1, an=(n^1-p-1)/(1-p)toinfty,
  • para p=1, an=ln ntoinfty.

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