Considere a sequência .
Mostre que não é limitada se .
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para mostrar que não é limitada quando .
Vamos usar o cálculo da integral imprópria de e o critério da integral -adica para decidir a divergência.
Passo 2
Primeiro calculamos a primitiva de para o caso .
Logo, para ,
Passo 3
Se p<1, então 1-p>0 e 11-p>0. Assim
an = n^1-p-11-p
é uma constante positiva vezes n^1-p menos outra constante. Como n^1-ptoinfty quando ntoinfty, segue que antoinfty. Portanto (an) não é limitada.
Passo 4
Se p=1, a integral é
an = integral1^n 1x,dx = ln n
E ln ntoinfty quando ntoinfty. Logo, novamente (an) não é limitada.
Passo 5
Em ambos os casos p<1 e p=1, mostramos que antoinfty. Concluímos que, se p<=1, a sequência (an) cresce sem limite e, portanto, não é limitada.