Mostre que a série geométrica \sum x^{n} pode ser diferenciada termo a termo e escreva a série resultante.

Passo 1

O enunciado nos dá a série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}
e pede para mostrar que podemos diferenciá-la termo a termo no intervalo de convergência e escrever a série resultante. O conteúdo é de séries de potências e critério de diferenciação de séries uniformemente convergentes.

Passo 2

Recordamos que, para \lvert x\rvert<1, a série geométrica converge e sua soma é
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}.

Passo 3

Como toda série de potências converge uniformemente em qualquer intervalo fechado [-r,r] com 0<r<1, podemos diferenciar termo a termo. Esse resultado vem do fato de que a soma e a derivada da soma coincidem quando a convergência é uniforme.

Passo 4

Diferenciando cada termo x^{n} em relação a x, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Logo, a série derivada é
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1}.
Note que o índice começa em n=1 porque o termo n=0 se anula.

Passo 5

Podemos ainda reconhecer essa nova série como a derivada do somatório original:
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{1-x}\Bigr) =\frac{1}{(1-x)^{2}}
e, portanto, para \lvert x\rvert<1,
\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}.

Resposta

\frac{d}{dx}\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\Bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}\quad(\lvert x\rvert<1).

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