Mostre que a série geométrica
pode ser diferenciada termo a termo e escreva a série resultante.
Passo 1
O enunciado nos dá a série geométrica
e pede para mostrar que podemos diferenciá-la termo a termo no intervalo de convergência e escrever a série resultante. O conteúdo é de séries de potências e critério de diferenciação de séries uniformemente convergentes.
Passo 2
Recordamos que, para
, a série geométrica converge e sua soma é
Passo 3
Como toda série de potências converge uniformemente em qualquer intervalo fechado
com
, podemos diferenciar termo a termo. Esse resultado vem do fato de que a soma e a derivada da soma coincidem quando a convergência é uniforme.
Passo 4
Diferenciando cada termo
em relação a
, obtemos
Logo, a série derivada é
Note que o índice começa em
porque o termo
se anula.
Passo 5
Podemos ainda reconhecer essa nova série como a derivada do somatório original:
e, portanto, para
,