Considere a sequência \{\sqrt{2}, \sqrt{2 \sqrt{2}}, \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}, \ldots\}, ou seja, a_{1}=\sqrt{2} e a_{n+1}=\sqrt{2 a_{n}}.
(a) Suponha por um momento que você saiba que \left\{a_{n}\right\} é limitada superiormente e crescente. Mostre que \lim a_{n}=2.
(b) * Demonstre que a_{n} \leq 2 utilizando o princípio da indução finita.
(c) Utilizando o item anterior, verifique que a_{n} \leq a_{n+1} para todo n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado define a sequência \{a_n\} por a_{1} = \sqrt{2} e
a_{n+1} = \sqrt{2\,a_{n}}.
Pede-se:
(a) supondo já que \{a_n\} é crescente e limitada acima, mostrar que \lim a_n=2;
(b) provar por indução que a_n \le 2;
(c) usar esse fato para verificar que a_n \le a_{n+1}.
Conceitos necessários: limite de sequência monótona limitada, prova por indução, análise de desigualdades.

Passo 2

Para (a), como \{a_n\} é crescente e limitada superiormente, ela converge para algum L\ge0. Tomando limite na recorrência:
L = \lim_{n\to\infty}a_{n+1} = \lim_{n\to\infty}\sqrt{2\,a_n} = \sqrt{2\,L}.
Elevando ao quadrado,
L^2 = 2L \quad\Longrightarrow\quad L(L-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad L=0\text{ ou }L=2.
Como a_n>0 para todo n, descarta-se L=0. Logo
\lim_{n\to\infty}a_n = 2.

Passo 3

Para (b), provamos por indução que a_n\le2 para todo n.
Base n=1:
a_1 = \sqrt2 \le 2.
Hipótese de indução: suponha a_k \le 2. Então
a_{k+1} = \sqrt{2\,a_k} \le \sqrt{2\cdot2} = 2.
Assim, por indução, a_n\le2 para todo n.

Passo 4

Para (c), usando 0<a_n\le2, calculamos
a_{n+1}-a_n = \sqrt{2\,a_n}-a_n = \frac{2\,a_n - a_n^2}{\sqrt{2\,a_n} + a_n} = \frac{a_n(2-a_n)}{\sqrt{2\,a_n} + a_n}.
Como numerador e denominador são não negativos, segue a_{n+1}-a_n\ge0, ou seja, a_{n+1}\ge a_n. Portanto \{a_n\} é crescente.

Resposta

(a) \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = 2.
(b) a_n \le 2 para todo n.
(c) a_n \le a_{n+1} para todo n.

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