Considere a sequência
, ou seja,
e
.
(a) Suponha por um momento que você saiba que
é limitada superiormente e crescente. Mostre que
.
(b) * Demonstre que
utilizando o princípio da indução finita.
(c) Utilizando o item anterior, verifique que
para todo
.
(a) Suponha por um momento que você saiba que
(b) * Demonstre que
(c) Utilizando o item anterior, verifique que
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e
Pede-se:
(a) supondo já que é crescente e limitada acima, mostrar que
;
(b) provar por indução que ;
(c) usar esse fato para verificar que .
Conceitos necessários: limite de sequência monótona limitada, prova por indução, análise de desigualdades.
(a) supondo já que
(b) provar por indução que
(c) usar esse fato para verificar que
Conceitos necessários: limite de sequência monótona limitada, prova por indução, análise de desigualdades.
Passo 2
Para (a), como
é crescente e limitada superiormente, ela converge para algum
. Tomando limite na recorrência:
Elevando ao quadrado,
Como
para todo
, descarta-se
. Logo
Passo 3
Para (b), provamos por indução que
para todo
.
Base :
Base
Hipótese de indução: suponha
. Então
Assim, por indução,
para todo
.
Passo 4
Para (c), usando
, calculamos
Como numerador e denominador são não negativos, segue
, ou seja,
. Portanto
é crescente.
Resposta
(a)
.
(b) para todo
.
(c) para todo
.
(b)
(c)