Considere a sequência de números 1, 2, 2, 3, 3, 3, …, 30, 30, que contém um número 1, dois números 2, três números 3 e assim sucessivamente até trinta números 30. A mediana dessa sequência de números é
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de números onde o número 1 aparece uma vez, o número 2 aparece duas vezes, o número 3 aparece três vezes, e assim por diante, até o número 30 que aparece trinta vezes. Queremos descobrir qual é a mediana dessa sequência.
A mediana é o valor que está exatamente no meio de um conjunto de dados ordenados. Para encontrar a mediana, precisamos saber quantos elementos há na sequência e identificar o número que está na posição central.
Passo 2
Vamos começar calculando o número total de elementos na sequência. Cada número $ n $ de 1 a 30 aparece $ n $ vezes. Portanto, a soma total dos elementos é a soma dos números de 1 a 30.
A fórmula para a soma dos primeiros $ n $ números naturais é:
Aplicando essa fórmula para $ n = 30 $:
Então, a sequência tem 465 elementos no total.
Passo 3
Como o total de elementos é 465, que é um número ímpar, a mediana será o valor que está exatamente na posição central. Para encontrar essa posição, usamos a fórmula:
Substituindo:
Portanto, a mediana é o valor que está na 233ª posição da sequência.
Passo 4
Agora, precisamos identificar qual número está na 233ª posição. Vamos somar a quantidade de vezes que cada número aparece até alcançar ou ultrapassar a 233ª posição.
Por exemplo:
- O número 1 aparece 1 vez (total até agora: 1)
- O número 2 aparece 2 vezes (total até agora: 3)
- …
- O número $ k $ aparece $ k $ vezes (total até agora: $ \frac{k(k + 1)}{2} $)
Estamos procurando o menor $ k $ tal que:
Passo 5
Resolvendo a inequação:
Resolvendo a equação quadrática $ k^2 + k - 466 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Como $ k $ deve ser um número inteiro, arredondamos para cima: $ k = 21 $.
Passo 6
Vamos verificar quantos elementos temos até o número 21:
Até o número 21, temos 231 elementos. Então, a 232ª e 233ª posições são ocupadas pelo próximo número, que é 22.
Resposta
A mediana dessa sequência é 22.