Considere a sequência por recorrência dada por a1=2, e an+1=1+11+1an.
a) (1,0) Verifique que (an) é decrescente com an >= 1. Conclua que ela é convergente.
b) (0,7) Calcule lim n infty an.

Passo 1

O enunciado define a sequência l(anr) por
a1 = 2, an+1 = 1 + 11 + 1an
O que pedem é:
– a) mostrar que l(anr) é decrescente e que an >= 1, e daí concluir que ela converge;
– b) calcular seu limite L = limntoinfty an.
Vamos usar indução para a parte de limite inferior, depois analisar a diferença an+1-an para monotonicidade, invocar o Teorema de Convergência Monótona e por fim resolver a equação do ponto fixo para achar L.

Passo 2

Mostramos por indução que
an >= 1 forall n>=1
Base ( n=1): a1=2>=1.
Passo indutivo: suponha an>=1. Então
an+1 = 1 + 11 + tfrac1an > 1
pois 1an>=0 implica 1+tfrac1an>=1 e, portanto, 11+tfrac1an>=0. Logo an+1>=1. Isso fecha a indução.

Passo 3

Agora provamos que l(anr) é decrescente a partir de n=1. Já vemos numericamente
a1 = 2, a2 = 1 + 11 + tfrac12 = 1 + 1tfrac32 = 53 <2,
logo a2<a1. Para n>=2, usamos a fórmula equivalente
an+1 = 1 + 11 + 1an = 2,an + 1an + 1
Então
an+1 - an = 2an+1an+1 - an = 2an+1 - an(an+1)an+1 = -l(an^2 - an - 1r)an+1
Para n>=2 temos an>= a2=tfrac53>tfrac1+raiz52. Como a raiz positiva da equação x^2 - x -1=0 é phi=tfrac1+raiz52, conclui-se an^2 - an -1>0. Logo o numerador é negativo e an+1>0, dando
an+1-an < 0
Assim an+1<an para todo n>=1: a sequência é decrescente.

Passo 4

Já mostramos que l(anr) é decrescente e que an>=1 para todo n. Pelo Teorema da Convergência Monótona, toda sequência monotônica e limitada converge. Logo l(anr) é convergente.

Passo 5

Se L=limntoinftyan existe, passando ao limite na relação de recorrência,
L = 1 + 11 + 1L
Simplificando:
L = 1 + 1L+1L = 1 + LL+1 = 2L+1L+1
Multiplicando L(L+1)=2L+1
L^2 + L = 2L + 1 ;;Longrightarrow;; L^2 - L - 1 = 0
As soluções são tfrac1pmraiz52; como an>=1, fica
L = 1+raiz52

Resposta

limntoinfty an = 1+raiz52

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