Considere a sequência por recorrência dada por
, e
.
a)
Verifique que
é decrescente com
. Conclua que ela é convergente.
b)
Calcule
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
O que pedem é:
– a) mostrar que é decrescente e que
, e daí concluir que ela converge;
– b) calcular seu limite .
Vamos usar indução para a parte de limite inferior, depois analisar a diferença para monotonicidade, invocar o Teorema de Convergência Monótona e por fim resolver a equação do ponto fixo para achar
.
– a) mostrar que
– b) calcular seu limite
Vamos usar indução para a parte de limite inferior, depois analisar a diferença
Passo 2
Mostramos por indução que
Base (
):
.
Passo indutivo: suponha . Então
Passo indutivo: suponha
pois
implica
e, portanto,
. Logo
. Isso fecha a indução.
Passo 3
Agora provamos que
é decrescente a partir de
. Já vemos numericamente
logo
. Para
, usamos a fórmula equivalente
Então
Para
temos
. Como a raiz positiva da equação
é
, conclui-se
. Logo o numerador é negativo e
, dando
Assim
para todo
: a sequência é decrescente.
Passo 4
Já mostramos que
é decrescente e que
para todo
. Pelo Teorema da Convergência Monótona, toda sequência monotônica e limitada converge. Logo
é convergente.
Passo 5
Se
existe, passando ao limite na relação de recorrência,
Simplificando:
Multiplicando
dá
As soluções são
; como
, fica