Questão 3) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. Faça todas as passagens de sua justificativa.
lim (x, y) (0,0) yraiz2 x^2+2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando (x, y) se aproxima de (0,0) da expressão yraiz2 x^2 + 2 y^2. Isso envolve conceitos de limites em funções de várias variáveis, especificamente usando coordenadas polares para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o denominador para simplificar a expressão. Observamos que raiz2 x^2 + 2 y^2 pode ser fatorado:
raiz2 x^2 + 2 y^2 = raiz2(x^2 + y^2) = raiz2 cdot raizx^2 + y^2

Passo 3

Agora, a expressão original fica:
yraiz2 x^2 + 2 y^2 = yraiz2 cdot raizx^2 + y^2 = yraiz2 cdot r
onde r = raizx^2 + y^2 é a distância do ponto (x, y) até a origem.

Passo 4

Para analisar o limite, vamos usar coordenadas polares, onde x = r cos(theta) e y = r sin(theta). Substituindo na expressão:
yraiz2 cdot r = r sin(theta)raiz2 cdot r = sin(theta)raiz2

Passo 5

Agora, percebemos que sin(theta)raiz2 depende do ângulo theta e não de r. Isso significa que, dependendo do caminho que (x, y) toma para chegar em (0,0), o valor do limite pode variar.

Passo 6

Por exemplo:
  • Se theta = pi2, então sin(theta) = 1 e o limite é 1raiz2.
  • Se theta = 0, então sin(theta) = 0 e o limite é 0.

Passo 7

Como valores diferentes são obtidos dependendo de theta, concluímos que o limite não é único. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe porque depende do caminho seguido para (0,0).

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