Questão 3) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. Faça todas as passagens de sua justificativa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão
. Isso envolve conceitos de limites em funções de várias variáveis, especificamente usando coordenadas polares para facilitar a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o denominador para simplificar a expressão. Observamos que
pode ser fatorado:
Passo 3
Agora, a expressão original fica:
onde
é a distância do ponto
até a origem.
Passo 4
Para analisar o limite, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na expressão:
Passo 5
Agora, percebemos que
depende do ângulo
e não de
. Isso significa que, dependendo do caminho que
toma para chegar em
, o valor do limite pode variar.
Passo 6
Por exemplo:
- Se
, então e o limite é . - Se
, então e o limite é .
Passo 7
Como valores diferentes são obtidos dependendo de
, concluímos que o limite não é único. Portanto, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe porque depende do caminho seguido para
.