Esta questão se dedica ao cálculo de integrais definidas usando o Teorema Fundamental do Cálculo e os métodos de substituição de variáveis e de integração por partes.
integralxi^xf d x 3 x3+2 x^2,

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integralxi^xf 3x3+2x^2,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo e o método de substituição de variáveis.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 3 + 2x^2
Dessa forma
du = 4x,dx Longrightarrow x,dx = du4,
e portanto
3x,dx = 34,du
Os limites também mudam: quando x = xi, ui = 3 + 2xi^2; e quando x = xf, uf = 3 + 2xf^2.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integralxi^xf 3x3+2x^2,dx = integralui^uf 34,duu = 34integralui^uf duu

Passo 4

Aplicando a antiderivada de tfrac1u e o Teorema Fundamental do Cálculo, temos
34integralui^uf duu = 34l[lnlvert urvertr]ui^uf = 34l(lnlvert ufrvert - lnlvert uirvertr)
Voltando às variáveis originais,
uf = 3 + 2xf^2, ui = 3 + 2xi^2

Resposta

integralxi^xf 3x3+2x^2,dx = 34l(lnl(3+2xf^2r)-lnl(3+2xi^2r)r) = 34ln3+2xf^23+2xi^2

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