Considere a sequência de termo geral
an=2 n+22^n-2 n2^n-1, n >= 1
(10 pts) Calcule lim n infty an.

Passo 1

O enunciado define a sequência
an=2n+22^n-2n2^n-1, n>=1
e pede o valor de limntoinftyan.
Conteúdo envolvido: manipulação algébrica de termos gerais de sequência e uso do fato de que potências crescem mais rápido que polinômios, logo termos do tipo n/2^n tendem a zero.

Passo 2

Primeiro simplificamos a segunda parcela, escrevendo tudo sobre o mesmo denominador 2^n:
2n2^n-1 =2ncdot22^n =4n2^n
Assim
an =2n+22^n-4n2^n

Passo 3

Como ambas as frações têm denominador comum, juntamos os numeradores:
an =(2n+2)-4n2^n =2-2n2^n

Passo 4

Para analisar o limite, separamos em duas parcelas:
an =22^n-2n2^n
Sabemos que
limntoinfty2/2^n=0
e
limntoinftyn/2^n=0
porque potências de 2 crescem muito mais rápido que n.

Passo 5

Portanto
limntoinftyan =limntoinftyl(22^n-2n2^nr) =0-2cdot0=0

Resposta

0

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