O valor médio de uma função contínua f(x, y) em um retângulo R=[a, b] times[c, d] é definido como
fm=1A(R) integralegral duplaR f(x, y) d A
onde A(R)=(b-a)(d-c) é a área do retângulo R (comparar com a Definição 5.8.1, do Volume 1). Use essa definição nestes exercícios.
Encontre o valor médio de f(x, y)=x y^2 no retângulo [0,8] times[0,6].

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de uma função contínua f(x,y)=x,y^2 no retângulo
R=[0,8]times[0,6]
O conteúdo principal é integral dupla e definição de valor médio, que diz
fm = 1A(R) integral duplaRf(x,y),dA,
onde A(R)=(b-a)(d-c) é a área de R.

Passo 2

Calculemos a área do retângulo R:
A(R)=(8-0),(6-0)=8cdot6=48

Passo 3

Montamos a integral para o valor médio:
fm = 148 integralx=0^8integraly=0^6x,y^2,dy,dx

Passo 4

Primeiro integramos em y:
integral0^6y^2,dy =l[tfracy^33r]0^6 =6^33 =2163 =72
Logo a integral torna-se
148 integral0^8xcdot72,dx = 7248 integral0^8x,dx

Passo 5

Agora integramos em x:
integral0^8x,dx =l[tfracx^22r]0^8 =8^22 =32
Portanto
7248cdot32 =72cdot3248 =230448 =48

Resposta

O valor médio de f(x,y)=x,y^2 em [0,8]times[0,6] é 48.

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