Considere a sequência de termo geral
an=2 n+22^n-2 n2^n-1, n >= 1
(10 pts) Seja (Sn) a sequência das somas parciais da série sumn=1^infty an. Encontre uma expressão para Sn em função de n.

Passo 1

O enunciado nos dá
an=2n+22^n-2n2^n-1, n>=1
e pede a soma parcial
Sn=sumk=1^nak
O truque aqui é reconhecer um padrão de série telescópica.

Passo 2

Defina a sequência
bn=2n+22^n, n>=0
Então note que, para n>=1,
bn-bn-1 =2n+22^n-2(n-1)+22^n-1 =2n+22^n-2n2^n-1 =an

Passo 3

Somando de k=1 até k=n a relação ak=bk-bk-1, obtemos
Sn =sumk=1^nak =sumk=1^nl(bk-bk-1r) =bn-b0

Passo 4

Basta agora calcular
b0=2cdot0+22^0=2 e bn=2n+22^n

Resposta

Sn =bn-b0 =2n+22^n-2

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