Determine se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando sua resposta.
(10 p t s) sumn=1^+infty(1+3n)^2 n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^inftyl(1+3nr)^2n
converge ou diverge.
O conteúdo principal aqui é o teste da convergência de séries pelo comportamento do termo geral: uma série só pode convergir se o seu termo geral tende a zero.

Passo 2

Vamos estudar o limite do termo geral
an = l(1+3nr)^2n
Primeiro lembramos o limite clássico
limntoinftyl(1+3nr)^n = e^3

Passo 3

Com isso, escrevemos
limntoinftyan = limntoinftyl(1+3nr)^2n =l(limntoinftyl(1+3nr)^nr)^2 =(e^3)^2 = e^6
Portanto limntoinftyan = e^6neq 0.

Passo 4

Como o termo geral an não tende a zero, a série não satisfaz a condição necessária de convergência. Logo, pelo teste do termo geral, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados