Determine o domínio e a imagem das funções a seguir.
;
Passo 1
O exercício pede para encontrar o domínio e a imagem da função de três variáveis definida por
O conteúdo envolvido é análise de funções reais de várias variáveis: para o domínio, lembramos que o radicando de uma raiz quadrada deve ser não-negativo; para a imagem, usamos que a raiz quadrada produz sempre valores não negativos.
Passo 2
Para achar o domínio, impomos a condição
Isso garante que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero. Podemos reescrever essa desigualdade de uma forma equivalente:
$$1 - x^{2} + y^{2} - z^{2} \ge 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x^{2} - y^{2} + z^{2} \le 1.
x^{2} - y^{2} + z^{2} \le 1.
ou equivalentemente
$${(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2} - y^{2} + z^{2} \le 1}.
$$
Passo 3
Para determinar a imagem, note que sobre o domínio o radicando
vai de 0 até valores arbitrariamente grandes (por exemplo, fixando
e
Resposta
Domínio:
. Imagem:
.