Determine o domínio e a imagem das funções a seguir.
f(x, y, z)=raiz1-x^2+y^2-z^2;

Passo 1

O exercício pede para encontrar o domínio e a imagem da função de três variáveis definida por
f(x,y,z)=raiz1 - x^2 + y^2 - z^2
O conteúdo envolvido é análise de funções reais de várias variáveis: para o domínio, lembramos que o radicando de uma raiz quadrada deve ser não-negativo; para a imagem, usamos que a raiz quadrada produz sempre valores não negativos.

Passo 2

Para achar o domínio, impomos a condição
1 - x^2 + y^2 - z^2 >= 0
Isso garante que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero. Podemos reescrever essa desigualdade de uma forma equivalente:
$$1 - x^{2} + y^{2} - z^{2} \ge 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x^{2} - y^{2} + z^{2} \le 1.
1 - x^2 + y^2 - z^2 >= 0 Long<=ftrightarrow x^2 - y^2 + z^2 <= 1 íé{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 1 - x^{2} + y^{2} - z^{2} \ge 0},$$
ou equivalentemente
$${(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2} - y^{2} + z^{2} \le 1}.
$$

Passo 3

Para determinar a imagem, note que sobre o domínio o radicando
T = 1 - x^2 + y^2 - z^2
vai de 0 até valores arbitrariamente grandes (por exemplo, fixando x=z=0 e deixando ytoinfty faz Ttoinfty). Portanto
Tin[0,infty)
e
f(x,y,z)=raizTin[0,infty)

Resposta

Domínio: (x,y,z)inR^3mid 1 - x^2 + y^2 - z^2 >= 0. Imagem: [0,infty).

Exercícios relacionados