Considere a sequência de termo geral
an=2 n+22^n-2 n2^n-1, n >= 1
( 10 p t s) Utilizando os itens anteriores, conclua se a série sumn=1^+infty an converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termo geral
an=2n+22^n-2n2^,n-1, n>=1,
e pede para estudar a convergência da série sumn=1^inftyan e, se convergir, calcular sua soma. Vamos usar a ideia de série telescópica.

Passo 2

Definimos
bn=2n+22^n
Então note que
bn-1=2(n-1)+22^,n-1=2n2^,n-1
Logo
an=2n+22^n-2n2^,n-1=bn-bn-1,
ou seja, a série é telescópica.

Passo 3

O N-ésimo soma parcial é
SN=sumn=1^Nan=sumn=1^N(bn-bn-1) =(b1-b0)+(b2-b1)+cdots+(bN-bN-1) =bN-b0
Calculamos b0:
b0=2cdot0+22^0=2

Passo 4

Agora fazemos Ntoinfty. Como
bN=2N+22^Nto0(Ntoinfty),
segue
limNtoinftySN=limNtoinfty(bN-b0)=0-2=-2
Portanto a série converge.

Resposta

A série converge e sua soma é -2.

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