Identifique como Verdadeiras (V) ou Falsas (F) as seguintes afirmativas, justificando suas respostas:
( ) (10 pts) a sequência an definida por an=2^n2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot(2 n) é monótona decrescente e convergente.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = 2^n2cdot4cdot6cdotldotscdot(2n)
e pede para verificar se ela é monótona decrescente e convergente. Vamos usar manipulação algébrica do termo geral e aplicar o teste da razão para monotonicidade e calcular o limite para convergência.

Passo 2

Note que
2cdot4cdot6cdotldotscdot(2n) =prodk=1^n(2k) =2^n,(1cdot2cdot3cdots n) =2^n,n!
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an=2^n2^n,n!=1n!

Passo 3

Para verificar monotonicidade, calculamos a razão
an+1an =tfrac1(n+1)!tfrac1n! =n!(n+1)! =1n+1
Como 1n+1<1 para todo n>=1, concluímos que an+1<an, ou seja, an é monótona decrescente.

Passo 4

Para a convergência, basta observar
limntoinftyan =limntoinfty1n! =0,
pois n! cresce sem limite. Assim an converge (para 0).

Resposta

Verdadeira (V)

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