O valor médio de uma função contínua f(x, y) em um retângulo R=[a, b] times[c, d] é definido como
fm=1A(R) integralegral duplaR f(x, y) d A
onde A(R)=(b-a)(d-c) é a área do retângulo R (comparar com a Definição 5.8.1, do Volume 1). Use essa definição nestes exercícios.
Encontre o valor médio de f(x, y)=x^2+7 y no retângulo [0,3] times[0,6].

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de uma função contínua f(x,y)=x^2+7y no retângulo R=[0,3]times[0,6]. O conteúdo aqui é o cálculo de valor médio em duas variáveis, que usa a definição
fm=1A(R)integral duplaRf(x,y),dA,
onde A(R) é a área de R. Vamos precisar calcular A(R) e a integral dupla de f sobre R.

Passo 2

Calcular a área de R. Como R=[0,3]times[0,6], temos
A(R)=(3-0),(6-0)=18

Passo 3

Escrever a fórmula do valor médio usando A(R)=18:
fm=118integralx=0^3integraly=0^6l(x^2+7yr),dy,dx

Passo 4

Calcular primeiro a integral interna em y:
integraly=0^6l(x^2+7yr),dy =integral0^6x^2,dy+integral0^67y,dy =6x^2 +7cdot6^22 =6x^2+7cdot18 =6x^2+126

Passo 5

Agora integrar em x:
integralx=0^3l(6x^2+126r),dx =6integral0^3x^2,dx+126integral0^31,dx =6cdot3^33+126cdot3 =6cdot9+378 =54+378 =432

Passo 6

Dividir o resultado da integral dupla pela área:
fm=43218=24

Resposta

O valor médio de f(x,y)=x^2+7y no retângulo dado é 24.

Exercícios relacionados