Considere a sequência Xn= n & com probabilidade 1n^2 0 & com probabilidade 1-1n^2 tal que
Xn xrightarrowp 0
Mostre que
a) Xn xrightarrowL^r 0.
b) r<2, para Xn.
c) r >= 2 não converge para 0 na r-média para qualquer Xn xrightarrow qc 0.
d) .

Passo 1

O enunciado define a sequência de variáveis aleatórias Xn por Xn=n com probabilidade 1/n^2 e Xn=0 com probabilidade 1-1/n^2. O conteúdo que vamos usar envolve definições de convergência em probabilidade, em L^r (r-média) e quase certa, além de cálculos de probabilidade e esperança.

Passo 2

Para mostrar que Xn converge em probabilidade a 0, usamos a definição: Xnxrightarrowp0 se, para todo varepsilon>0, P(|Xn-0|>varepsilon)to0. Note que para n>varepsilon tem-se
P(|Xn|>varepsilon)=P(Xn=n)=1n^2to0
logo Xnxrightarrowp0.

Passo 3

Para convergência em L^r (r-média) com r<2, calculamos a esperança E[|Xn-0|^r]=E[|Xn|^r]. Temos
E[|Xn|^r]=n^rcdot1n^2+0^rl(1-1n^2r)=n^r-2
Como r-2<0, segue n^r-2to0. Assim XnxrightarrowL^r0 para todo r<2.

Passo 4

Para r>=2 temos E[|Xn|^r]=n^r-2. Se r=2, isso é 1 para todo n, não converge a 0; se r>2, n^r-2to+infty. Portanto não há convergência em r-média para r>=2.

Passo 5

Para convergência quase certa, aplicamos o segundo Lema de Borel–Cantelli. Note que
sumn=1^infty P(Xnneq0)=sumn=1^infty1n^2
Logo P(Xnneq0 io)=0, isto é, com probabilidade 1 a sequência só assume valor não nulo um número finito de vezes. Então Xnto0 quase certamente.

Resposta

X_n converge para 0 em probabilidade; converge em L^r para r<2; não converge na r-média para r\ge2; e converge quase certamente para 0.

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