Se uma sequência de variáveis aleatórias
converge em probabilidade para uma variável aleatória X , então
também converge em distribuição para X.
Passo 1
O enunciado diz que estamos estudando convergência de variáveis aleatórias: especificamente, se
converge em probabilidade para
, queremos mostrar que também converge em distribuição para
. Vamos usar definições de ambas as convergências e um argumento de estimativa de probabilidades.
Passo 2
Convergência em probabilidade significa que para todo
vale
Isso quer dizer que as variáveis ficam cada vez mais próximas de
com probabilidade crescente.
Passo 3
Convergência em distribuição (ou em lei) exige que para todo ponto
de continuidade da função de distribuição
tenhamos
Passo 4
Para mostrar a convergência em distribuição, escolhemos um ponto de continuidade
de
e escrevemos
Na parte em que
, se
então
. Logo
Passo 5
Analogamente, filtramos o evento
para obter
Passo 6
Combinando essas desigualdades e usando que
, obtemos
Como
é contínua em
, ao deixar
temos
e
. Assim
.
Resposta
Verdadeiro: convergência em probabilidade implica convergência em distribuição.