Se uma sequência de variáveis aleatórias Xn converge em probabilidade para uma variável aleatória X , então Xn também converge em distribuição para X.

Passo 1

O enunciado diz que estamos estudando convergência de variáveis aleatórias: especificamente, se Xn converge em probabilidade para X, queremos mostrar que também converge em distribuição para X. Vamos usar definições de ambas as convergências e um argumento de estimativa de probabilidades.

Passo 2

Convergência em probabilidade significa que para todo varepsilon>0 vale
limntoinftyPl(|Xn - X|>varepsilonr) = 0
Isso quer dizer que as variáveis ficam cada vez mais próximas de X com probabilidade crescente.

Passo 3

Convergência em distribuição (ou em lei) exige que para todo ponto x de continuidade da função de distribuição FX(x)=P(X<= x) tenhamos
limntoinftyFXn(x) = FX(x)

Passo 4

Para mostrar a convergência em distribuição, escolhemos um ponto de continuidade x de FX e escrevemos
FXn(x) = P(Xn <= x) = Pl(Xn <= x,,|Xn - X|<= varepsilonr) + Pl(|Xn - X|>varepsilonr)
Na parte em que |Xn - X|<= varepsilon, se Xn<= x então X <= x+varepsilon. Logo
Pl(Xn <= x,,|Xn - X|<= varepsilonr) <= Pl(X <= x+varepsilonr) = FX(x+varepsilon)

Passo 5

Analogamente, filtramos o evento X<= x-varepsilon para obter
Pl(Xn <= x,,|Xn - X|<= varepsilonr) >= Pl(X <= x-varepsilonr)-Pl(|Xn - X|>varepsilonr) = FX(x-varepsilon)-Pl(|Xn - X|>varepsilonr)

Passo 6

Combinando essas desigualdades e usando que P(|Xn-X|>varepsilon)to0, obtemos
FX(x-varepsilon) - o(1) <= FXn(x) <= FX(x+varepsilon) + o(1)
Como FX é contínua em x, ao deixar varepsilonto0 temos FX(x-varepsilon)to FX(x) e FX(x+varepsilon)to FX(x). Assim FXn(x)to FX(x).

Resposta

Verdadeiro: convergência em probabilidade implica convergência em distribuição.

Exercícios relacionados