Prove o Teorema de Representação de Skorokhod:
Suponha que Xn xrightarrow d X. Então, existem variáveis aleatórias Xn^prime distribuídas de forma idêntica à Xn e uma variável aleatória X^prime distribuída de forma idêntica à X, e tal que
Xn^prime xrightarrow qc X^prime
Dicas: Seja Fn a função de distribuição de Xn e F a função de distribuição de X. Suponha que X n X em distribuição. Seja
Xn^prime(omega) & =inf omega: Fn(x) >= omega X^prime(omega) & =inf omega: F(x) >= omega
Prove que dado x um ponto de continuidade de F. Então Xn^prime(x) X^prime(x)

Passo 1

No enunciado a gente assume que Xn converge em distribuição para X, ou seja, as funções de distribuição Fn de Xn convergem pontualmente para F nos pontos de continuidade de F. A ideia do Teorema de Skorokhod é construir variáveis Xn' e X' com as mesmas leis de Xn e X, usando as chamadas funções quantil, de modo que Xn'(omega)to X'(omega) quase certamente. Vamos precisar do conceito de infimum e da convergência pontual de Fn para F.

Passo 2

Definimos para cada omegain(0,1) as variáveis quantil:
Xn'(omega)=infx:,Fn(x)>=omega,
X'(omega)=infx:,F(x)>=omega
Dado um omega fixo, chamamos x0=X'(omega). Em geral, x0 é o menor x tal que F(x)>=omega.

Passo 3

Como x0 é ponto de continuidade de F, para todo epsilon>0 pequeno temos
F(x0-epsilon)omega
Pela convergência pontual de Fn a F em cada ponto de continuidade, existe N tal que para todo n>= N vale
Fn(x0-epsilon)omega

Passo 4

Pela definição de infimum, se Fn(x0-epsilon) então Xn'(omega)>= x0-epsilon; e se Fn(x0+epsilon)>omega então Xn'(omega)<= x0+epsilon. Logo, para n grande
x0-epsilon<= Xn'(omega)<= x0+epsilon
Isso mostra que Xn'(omega)to x0.

Passo 5

Como x0=X'(omega), concluímos que para todo omega
Xn'(omega)xrightarrowntoinftyX'(omega)
Ou seja, as variáveis construídas convergem quase certamente, provando o teorema.

Resposta

Foi mostrado que para cada omegain(0,1), no ponto de continuidade de F, vale limntoinftyXn'(omega)=X'(omega), como queríamos demonstrar.

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