Deixe 1,2, cdots e Omega & Xn xrightarrowp X, & Yn xrightarrowp Y serem duas sequências de variáveis aleatórias, definidas no espaço amostral Xn+Yn xrightarrowp X+Y. Suponha que
Prove que .

Passo 1

Temos duas sequências de variáveis aleatórias Xn e Yn que convergem em probabilidade para X e Y, respectivamente. O conteúdo da matéria é convergência em probabilidade e vamos precisar da definição dessa convergência e das propriedades de desigualdade triangular e união de eventos para somas de variáveis aleatórias.

Passo 2

Lembrando a definição: dizemos que Xn converge em probabilidade para X, escrito Xn xrightarrowp X, se para todo varepsilon>0
limntoinftyPl(|Xn - X|>varepsilonr)=0

Passo 3

Queremos mostrar que Xn+Yn xrightarrowp X+Y, ou seja, que para todo varepsilon>0
limntoinftyPl(|(Xn+Yn)-(X+Y)|>varepsilonr)=0

Passo 4

Observe que
|(Xn+Yn)-(X+Y)| = |(Xn - X)+(Yn - Y)| <= |Xn - X| + |Yn - Y|, pela desigualdade triangular. Então, para varepsilon>0,
Pl(|(Xn+Yn)-(X+Y)|>varepsilonr) <= Pl(|Xn - X| + |Yn - Y|>varepsilonr)

Passo 5

Agora aplicamos a união de eventos: se A e B são eventos, P(Acup B)<= P(A)+P(B). Tomando
A=|Xn-X|>varepsilon/2, B=|Yn-Y|>varepsilon/2, então sempre que |Xn - X| + |Yn - Y|>varepsilon acontece, pelo menos um de A ou B ocorre. Logo
Pl(|Xn - X| + |Yn - Y|>varepsilonr) <= Pl(|Xn - X|>varepsilon/2r) + Pl(|Yn - Y|>varepsilon/2r)

Passo 6

Como Xn xrightarrowp X e Yn xrightarrowp Y, cada uma dessas probabilidades tende a zero quando ntoinfty. Portanto,
limntoinftyPl(|(Xn+Yn)-(X+Y)|>varepsilonr)=0, o que mostra que Xn+Yn converge em probabilidade para X+Y.

Resposta

Xn + Yn xrightarrowp X + Y.

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