Deixe
e
serem duas sequências de variáveis aleatórias, definidas no espaço amostral
. Suponha que
Prove que
.
Passo 1
Temos duas sequências de variáveis aleatórias
e
que convergem em probabilidade para
e
, respectivamente. O conteúdo da matéria é convergência em probabilidade e vamos precisar da definição dessa convergência e das propriedades de desigualdade triangular e união de eventos para somas de variáveis aleatórias.
Passo 2
Lembrando a definição: dizemos que
converge em probabilidade para
, escrito
, se para todo
Passo 3
Queremos mostrar que
, ou seja, que para todo
Passo 4
Observe que
Passo 5
Agora aplicamos a união de eventos: se
e
são eventos,
. Tomando
Passo 6
Como
e
, cada uma dessas probabilidades tende a zero quando
. Portanto,