Deixe
ser uma sequência de
variáveis aleatórias, de modo que
onde
é uma constante. Defina uma nova sequência
como
Mostre que
converge em distribuição para
.
variáveis aleatórias, de modo que
Passo 1
O enunciado define uma sequência de variáveis aleatórias
com distribuição geométrica de parâmetro
, ou seja,
, e introduz
. O objetivo é mostrar que
converge em distribuição para uma variável exponencial de parâmetro
.
Passo 2
Para lembrar o que significa convergência em distribuição, vamos usar a definição via funções de distribuição:
se, para todo ponto de continuidade
da cdf de
, temos
Passo 3
Relembre que, quando
(definida como o número de tentativas até o primeiro sucesso), a função de distribuição satisfaz
Passo 4
Calculemos então a cdf de
. Para
,
Passo 5
Agora encontramos o limite quando
. Note que
e que
Passo 6
Portanto,
que é exatamente a cdf de
. Assim,
converge em distribuição para
.