Deixe X1, X2, X3, cdots ser uma sequência de
variáveis aleatórias, de modo que
Xn sim Geo(lambdan), para n=1,2,3, cdots
onde lambda>0 é uma constante. Defina uma nova sequência Yn como
Yn=1n Xn, para n=1,2,3, cdots
Mostre que Yn converge em distribuição para Exp(lambda).

Passo 1

O enunciado define uma sequência de variáveis aleatórias Xn com distribuição geométrica de parâmetro pn=lambdan, ou seja, XnsimGeol(tfraclambdanr), e introduz Yn=tfracXnn. O objetivo é mostrar que Yn converge em distribuição para uma variável exponencial de parâmetro lambda.

Passo 2

Para lembrar o que significa convergência em distribuição, vamos usar a definição via funções de distribuição: YnxrightarrowdY se, para todo ponto de continuidade y da cdf de Y, temos
FYn(y)= P(Yn<= y)longrightarrow FY(y) No nosso caso queremos mostrar que
limntoinftyFYn(y)=1-e^-lambda y, que é a cdf de Exp(lambda).

Passo 3

Relembre que, quando XsimGeo(p) (definida como o número de tentativas até o primeiro sucesso), a função de distribuição satisfaz
P(X<= k)=1-(1-p)^k, para todo k=1,2,dots.

Passo 4

Calculemos então a cdf de Yn. Para y>=0,
FYn(y)= Pl(tfracXnn<= yr)= Pl(Xn<=lfloor nyrfloorr) =1-l(1-tfraclambdanr)^lfloor nyrfloor

Passo 5

Agora encontramos o limite quando ntoinfty. Note que lfloor nyrfloor/nto y e que
limntoinftyl(1-tfraclambdanr)^lfloor nyrfloor =expl(limntoinftylfloor nyrfloorlnl(1-tfraclambdanr)r) =exp(-lambda y)

Passo 6

Portanto,
limntoinftyFYn(y)=1-e^-lambda y,
que é exatamente a cdf de Exp(lambda). Assim, Yn converge em distribuição para Exp(lambda).

Resposta

Ynxrightarrowd Exp(lambda).

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