Considere as sequências (an) e (bn) tais que:
\begin{aligned} & \begin{array}{l} a n+1=a n+b n \\ b n+1=2 a n, \end{array} \quad n \geq 0 \\ & \text { onde } a 0=1 \text { e } b 0=1 . \text { Determine } a n \text { e } b n \text { em função de } n . \end{aligned}çã

Passo 1

O enunciado define duas sequências (a_n) e (b_n) por
a_{n+1}=a_n+b_n,
b_{n+1}=2a_n,
com a_0=1 e b_0=1. Vamos eliminar b_n e obter uma recorrência de segunda ordem só em a_n, depois resolver por equação característica.

Passo 2

Da primeira relação segue
b_n = a_{n+1}-a_n.
Substituindo isso em b_{n+1}=2a_n e usando b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}, obtemos
a_{n+2}-a_{n+1}=2a_n
isto é,
a_{n+2}-a_{n+1}-2a_n=0.

Passo 3

A equação característica é
r^2 - r - 2 = 0,
cuja soluções são r_1=2 e r_2=-1. Logo a solução geral é
a_n = A\cdot 2^n + B\cdot(-1)^n.

Passo 4

Usando a_0=1 e a_1=a_0+b_0=2, temos
A + B = 1,
2A - B = 2.
Somando as duas dá 3A=3\Rightarrow A=1 e daí B=0. Assim
a_n = 2^n.

Passo 5

Para b_n usamos b_n = a_{n+1}-a_n. Como a_{n+1}-a_n = 2^{n+1}-2^n, vem
b_n = 2^n.

Resposta

a_n = 2^n
b_n = 2^n

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