Questão 1 [3 pontos] Classifique o sistema linear abaixo, usando escalonamento via operações elementares. Encontre a forma escalonada e exiba a expressão das soluções (caso seja SPD ou SPI).
\left\{\begin{array}{c} x+2 y+z=27 \\ 3 x-y+4 z=106 \\ 2 x+5 y-3 z=-71 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + 2y + z = 27,\\\\ 3x - y + 4z = 106,\\\\ 2x + 5y - 3z = -71, \end{cases}
e pede que o classifiquemos (SPD, SPI ou SI), obtenhamos sua forma escalonada por operações elementares e, se for possível, expressemos as soluções. O conteúdo envolvido é escalonamento de matrizes e resolução por retro-substituição.

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada e eliminar abaixo do pivô da primeira coluna.
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 27\\\\ 3 & -1 & 4 & 106\\\\ 2 & 5 & -3 & -71 \end{array}\right]
Aplicamos
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1,
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 27\\\\ 0 & -7 & 1 & 25\\\\ 0 & 1 & -5 & -125 \end{array}\right].

Passo 3

Para facilitar a eliminação na segunda coluna, trocamos R_2 com R_3:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 27\\\\ 0 & 1 & -5 & -125\\\\ 0 & -7 & 1 & 25 \end{array}\right].
Agora eliminamos o -7 em R_3 somando 7 vezes R_2 a R_3:
R_3 \leftarrow R_3 + 7R_2 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 27\\\\ 0 & 1 & -5 & -125\\\\ 0 & 0 & -34 & -850 \end{array}\right].
Esta é a forma escalonada triangular.

Passo 4

Da terceira linha obtemos
-34z = -850 \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{-850}{-34} = 25.
Substituindo na segunda linha
y - 5z = -125 \quad\Longrightarrow\quad y - 5\cdot25 = -125 \quad\Longrightarrow\quad y = 0.
Finalmente, da primeira linha
x + 2y + z = 27 \quad\Longrightarrow\quad x + 0 + 25 = 27 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.
Como encontramos exatamente uma solução, o sistema é SPD (sistema possível e determinado).

Resposta

O sistema é SPD.
Forma escalonada:
\begin{cases} x + 2y + z = 27,\\\ y - 5z = -125,\\\\ -34z = -850. \end{cases}
Solução única:
(x,y,z) = (2,\,0,\,25).

Exercícios relacionados