Questão 2 [4 pontos] Considere os dados apresentados na tabela abaixo. Utilize o método de ajuste de curvas não linear para encontrar os parâmetros que melhor ajustam os pontos experimentais a uma função do tipo y=b a^{x}.
x -1 -0.9 -0.8 0 1 2
y 6.01 5.39 4.80 2.01 0.65 0.21
[Usar 4 casas decimais com truncamento nesta questão. É obrigatório apresentar a tabela com os dados transformados, montar o sistema linear correspondente, resolvê-lo e, a partir disso, determinar os parâmetros da função ajustada.]

Passo 1

O enunciado pede ajuste não linear da forma
y = b\,a^{x}
aos pontos dados. Vamos linearizar aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln y = \ln b + x\,\ln a.
Definindo
Y = \ln y,\quad B = \ln b,\quad A = \ln a,
ficamos com a regressão linear
Y = B + A\,x.
Para obter A e B faremos regressão dos pares (x,Y) via mínimos quadrados.

Passo 2

Construímos a tabela com os valores de x, y, \ln y, x\ln y e x^2, todos truncados a 4 casas decimais:
x y \ln y x\ln y x^2
-1 6.01 1.7934 -1.7934 1
-0.9 5.39 1.6845 -1.5160 0.81
-0.8 4.80 1.5686 -1.2548 0.64
0 2.01 0.6981 0 0
1 0.65 -0.4307 -0.4307 1
2 0.21 -1.5606 -3.1212 4

Passo 3

Calculamos os somatórios (truncados a 4 casas decimais):
\sum x = 0{,}3,\quad \sum Y = \sum \ln y = 3{,}7533,\quad \sum xY = -8{,}1161,\quad \sum x^2 = 7{,}45,\quad N=6.
As equações normais são
\begin{cases} 6\,B + 0{,}3\,A = 3{,}7533,\\\\ 0{,}3\,B + 7{,}45\,A = -8{,}1161. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira,
B = \frac{3{,}7533 - 0{,}3\,A}{6} = 0{,}62555 - 0{,}05\,A.
Substituindo na segunda,
0{,}3\bigl(0{,}62555 - 0{,}05A\bigr) + 7{,}45\,A = -8{,}1161 \;\implies\;7{,}435\,A = -8{,}3038 \;\implies\;A = -1{,}1168\quad(\text{trunc. 4 d.})
e então
B = 0{,}62555 -0{,}05\cdot(-1{,}1168) = 0{,}6813\quad(\text{trunc. 4 d.}).

Passo 5

Voltando à forma original,
a = e^{A} = e^{-1{,}1168} = 0{,}3272,\quad b = e^{B} = e^{0{,}6813} = 1{,}9765 \quad(\text{trunc. 4 d.}).
Logo, a curva ajustada é
\boxed{y = 1{,}9765 \;\bigl(0{,}3272\bigr)^{x}}.

Resposta

y = 1{,}9765\,(0{,}3272)^{x}

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