Considere as sequências \left\{a_{n}\right\} e \left\{b_{n}\right\}, tais que a_{n} \rightarrow 2 quando n \rightarrow+\infty e b_{n}=(-1)^{n}. Determine quais das seguintes sequên-
cias convergem e quais divergem. Se uma sequência converge, indique seu limite.
\left\{b_{n}\right\}

Passo 1

O enunciado define as sequências \{a_n\} e \{b_n\}, sendo que a_n\to2 e b_n = (-1)^n. Queremos estudar a convergência de \{b_n\}. O conteúdo aqui é definição de limite de sequência e uso do critério de duas subsequências com limites distintos para mostrar divergência.

Passo 2

Note que \{b_n\}\) alterna entre \(1\) e \(-1\). De fato, para todo \(n\) temos \[b_n = (-1)^n = \begin{cases} 1, &\text{se \(n é par},\ -1,&se n é ímpar. \end{cases}]

Passo 3

Considere a subsequência dos índices pares b_{2k}=1, cuja única possível “candidata” a limite é 1. E a subsequência dos índices ímpares b_{2k+1}=-1, cuja única possível “candidata” a limite é -1. Como 1\neq -1, não existe único número L tal que todos os termos de \{b_n\} fiquem arbitrariamente próximos de L para n grande. Logo \{b_n\} não converge.

Resposta

A sequência \{b_n\} diverge.

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