Considere as sequências \left\{a_{n}\right\} e \left\{b_{n}\right\}, tais que a_{n} \rightarrow 2 quando n \rightarrow+\infty e b_{n}=(-1)^{n}. Determine quais das seguintes sequên-
cias convergem e quais divergem. Se uma sequência converge, indique seu limite.
\left\{a_{n}+b_{n}\right\}

Passo 1

O enunciado dá duas sequências \{a_n\} e \{b_n\} com
\lim_{n\to\infty}a_n = 2
e
b_n = (-1)^n,
e pede para analisar a convergência de \{a_n + b_n\}. Vamos usar propriedades de limites de sequências e o conceito de subsequências.

Passo 2

A sequência \{b_n\} não converge, pois oscila entre 1 (para n par) e -1 (para n ímpar). Para mostrar que \{a_n + b_n\} diverge, consideramos as subsequências de índices pares e ímpares:
\lim_{k\to\infty}(a_{2k} + b_{2k}) = \lim_{k\to\infty}(a_{2k} + 1) = 2 + 1 = 3,
\lim_{k\to\infty}(a_{2k+1} + b_{2k+1}) = \lim_{k\to\infty}(a_{2k+1} - 1) = 2 - 1 = 1.
Como existem duas subsequências cujo limite é diferente 3 e 1, não há um único valor limite para \{a_n + b_n\}.

Resposta

A sequência \{a_n + b_n\} diverge.

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